二次函数与一元二次方程的关系

定义

二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），当 $y=0$ 时得到一元二次方程

$a{x}^2+bx+c=0$

因此方程的实数根就是抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标（高中将正式称为函数的零点，初中阶段只要求说「交点的横坐标」或「方程的根」）。根的个数由判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 决定：

判别式	方程的根	抛物线与 x 轴
$\Delta >0$	两个不相等实数根	两个交点
$\Delta =0$	两个相等实数根（一个根）	一个交点（顶点在轴上）
$\Delta <0$	无实数根	没有交点

推导

交点要求纵坐标为 $0$，即 $a{x}^2+bx+c=0$。用求根公式

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

根号内 $\Delta =b^2-4ac$ 的符号直接决定实数根个数：

• $\Delta >0$：$\sqrt{\Delta }$ 是正数，两个不同的 $x$，抛物线从 $x$ 轴一侧穿到另一侧，有两个交点，函数在两根之间与两根之外符号相反；
• $\Delta =0$：$\sqrt{\Delta }=0$，两根重合为 $x=-\frac{b}{2a}$，恰为顶点横坐标，顶点落在 $x$ 轴上，抛物线与轴只有一个公共点，函数在轴的一侧（同号）；
• $\Delta <0$：根号内为负，没有实数 $x$ 使 $y=0$，整条抛物线位于 $x$ 轴上方（$a>0$）或下方（$a<0$）。$■$

图象法求近似根：画出抛物线并找到与 $x$ 轴相交的位置，读出横坐标的近似值。更常用的变形法：把 $a{x}^2+bx+c=0$ 改写成两个熟悉函数相等，如 $x^2=2x+1$，分别画 $y=x^2$ 与 $y=2x+1$，交点横坐标即近似根。$■$

与韦达定理的呼应：若两交点横坐标为 $x_1、x_2$，则对称轴为 $x=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}$，且抛物线可写成交点式

$y=a(x-x_1)(x-x_2)$

已知两个零点时用交点式写解析式最方便，这也解释了 $a(x-x_1)(x-x_2)$ 中两根的几何含义。

典例精析

已知二次函数 $y=x^2-4x+3$，不配方直接求与 $x$ 轴的交点、顶点所在对称轴，并判断 $y<0$ 时 $x$ 的范围。

令 $y=0$：$x^2-4x+3=0$，$(x-1)(x-3)=0$，$x_1=1$、$x_2=3$，与 $x$ 轴交于 $(1,0)$、$(3,0)$。对称轴为 $x=\frac{1+3}{2}=2$。因抛物线开口向上，位于两交点之间的部分在 $x$ 轴下方，故 $y<0$ 的范围是 $1<x<3$。

对比

视角	$\Delta >0$	$\Delta =0$	$\Delta <0$
方程	两不等实根	两相等实根	无实根
图象	两个交点	顶点在轴上	无交点
函数值	根间变号	顶点取 0	恒正或恒负
交点式	y=a(x-x₁)(x-x₂)	y=a(x-x₀)²	不能写成实根乘积式