正比例和反比例的判断

判断三步法

学生出错，十有八九是因为跳过了第二步。

1. 找出两个变量（都在变的量）
2. 找出不变量（题目里「某某一定」的那个量）
3. 看不变量是商还是积

例：速度一定，路程和时间成什么比例？

• 变量：路程 $s$、时间 $t$
• 不变量：速度 $v$
• 关系式：$s÷t=v$（不变量是商）→ 正比例

例：总价一定，单价和数量成什么比例？

• 变量：单价、数量
• 不变量：总价
• 关系式：单价 $\times$ 数量 $=$ 总价（不变量是积）→ 反比例

「变大变大」不是判断依据

这是最常见的直觉错误：看到两个量同时变大就判正比例。

反例：正方形的边长与面积。边长从 1 变到 2 再到 3，面积从 1 变到 4 再到 9——都在变大，但

$\frac{S}{a}=\frac{a^2}{a}=a$

比值是边长本身，不是定值，不成正比例。正确的说法是「面积与边长的平方成正比例」。

同理，圆的面积与半径不成正比例（$\frac{S}{r}=\pi r$ 不是定值），但圆的周长与半径成正比例（$\frac{C}{r}=2\pi$，是定值）。这一对结论经常放在同一道题里考，值得专门讲。

两个经典「不成比例」

和一定，不成比例。 长方形周长一定时，长 + 宽 = 周长的一半。长变大、宽变小，看着像反比例，但长 $\times$ 宽（面积）并不是定值，所以不成比例。

没有固定比值的，不成比例。 人的身高与年龄：年龄变大，身高也在长（一段时间内），但 $\frac{身高}{年龄}$ 没有固定值，也不存在乘积一定，不成比例。这类例子用来提醒学生：不是任何两个相关的量都能成比例。

典例精析

例 1 判断：圆的周长与半径成正比例吗？

$\frac{C}{r}=2\pi$，比值一定 → 成正比例。

例 2 判断：圆的面积与半径成正比例吗？

$\frac{S}{r}=\pi r$，随半径变化 → 不成正比例。

例 3 一辆汽车从甲地到乙地，速度与时间成什么比例？

路程一定，速度 $\times$ 时间 $=$ 路程（积一定）→ 成反比例。速度越快，用时越短。

例 4 正方形的周长与边长成什么比例？

$\frac{C}{a}=4$，比值一定 → 成正比例。但面积与边长不成正比例（见上）。正方形是同时演示「成」与「不成」的最佳例子。

课堂上的真实错法

错法一：凭变化方向判断。 已如上述。纠正办法是强制写出关系式，再判断是商还是积。

错法二：把「和一定」当反比例。 让学生实际算一算：周长 20 的长方形，长 9 宽 1（面积 9）、长 5 宽 5（面积 25）——积明显不同，自然明白不成反比例。

错法三：漏掉「一定」这个条件。 题目没说「谁一定」，学生就直接判。要提醒：没有不变量，就谈不上比例关系。

给家长的讲法

不用背定义，用一张表就够了。让孩子自己填两组数、算一算商和积：

孩子一算会发现「总价那列始终 60，而单价 $\times$ 数量正好等于 60」，反比例的概念自己就出来了。正比例同理，用「速度一定」填一张路程时间表。

这个方法的价值在于：孩子建立的是「我去验证」的习惯，而不是「我记住了结论」——到初中学习一次函数、反比例函数时，这个习惯会直接派上用场。