实数与无理数

定义

无理数：无限不循环小数称为无理数。常见形式有：

• 含根号的开不尽的数，如 $\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt[3]{2}$；
• 含 $\pi$ 的数，如 $\pi$、$\frac{\pi }{2}$；
• 特殊的无限不循环小数，如 $0.1010010001\cdots$（每两个 $1$ 之间 $0$ 的个数依次递增）。

实数：有理数和无理数统称实数。

$\text{实数}\{\begin{array}{l}\text{有理数}\{\begin{array}{l}\text{整数}\\ \text{分数}\end{array}\\ \text{无理数}\end{array}$

实数与数轴上的点一一对应。

为什么需要无理数：仅有理数不够用。边长为 $1$ 的正方形，其对角线长为 $\sqrt{2}$，而 $\sqrt{2}$ 不能写成两个整数之比；圆的周长与直径之比是 $\pi$，同样不是分数。若只承认有理数，这些随处可见的长度就无法表示，数系必须扩充。

实数也可以按符号分为正实数、零、负实数，两套分类标准不要混着说。

对比

类别	小数特征	举例
有理数	有限小数或无限循环小数	$3$、$\frac{1}{2}$、$0.\dot{3}$、$\sqrt{4}$
无理数	无限不循环小数	$\sqrt{2}$、$\pi$、$\sqrt[3]{2}$

判定的唯一标准是能不能写成两个整数的比，抓住这一条就不会被外形迷惑。

怎么判断一个数是不是无理数

按三步走：

1. 先化简。带根号的要先算出来，如 $\sqrt{4}=2$、$\sqrt[3]{8}=2$，它们是有理数
2. 再看是不是分数形式，且分子分母都是整数。$\frac{22}{7}$ 是分数，是有理数；$\frac{\pi }{2}$ 分子不是整数，是无理数
3. 最后看小数形式：有限与循环属有理，无限不循环属无理

常见的无理数有三类：开不尽的方根（$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt[3]{2}$）、含 $\pi$ 的数（$\pi$、$\frac{\pi }{2}$、$\pi -1$）、人为构造的无限不循环小数（如 $0.1010010001\cdots$）。

要特别当心的三个误判：把 $\frac{22}{7}$ 当成 $\pi$ 的准确值（它只是近似值，本身是有理数）；认为带根号一定是无理数（$\sqrt{9}=3$ 不是）；认为无限小数都是无理数（$0.\dot{3}$ 是循环的，是有理数）。

实数与数轴

实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都能在数轴上找到唯一的点，数轴上每一个点也都对应唯一的实数。这句话包含两个方向，缺一不可。

值得留意的是无理数也能在数轴上精确表示，不只是近似位置。例如以单位长度 $1$ 为直角边作等腰直角三角形，其斜边长为 $\sqrt{2}$；用圆规把这段长度从原点截到数轴上，就得到了表示 $\sqrt{2}$ 的那个点。这说明无理数不是「写不准的数」，而是确实存在的长度。

反过来，有理数虽然有无穷多个，却填不满整条数轴——数轴上还有大量无理数对应的点。这也是「一一对应」这个结论的分量所在。

典例精析

判断 $\sqrt{4}$、$\frac{22}{7}$、$\sqrt{2}$、$0.\dot{3}$ 是否为无理数：

• $\sqrt{4}=2$ 是整数，为有理数，不是无理数；
• $\frac{22}{7}$ 是分数，为有理数，不是无理数；
• $\sqrt{2}$ 是无限不循环小数，是无理数；
• $0.\dot{3}=\frac{1}{3}$ 是无限循环小数，为有理数，不是无理数。

再练两个：$\sqrt{9}+\sqrt{2}$ 中 $\sqrt{9}=3$，整体是 $3+\sqrt{2}$，它是无理数；$\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$，两个无理数相乘的结果是有理数。由此可见，无理数参与运算后不一定还是无理数，判断要落到结果本身。

与其他知识的联系

实数是后续运算的默认范围：二次根式的化简要求被开方数非负、结果非负，用的正是算术平方根的性质；勾股定理中由两边求第三边，得到的长度常常是开方开不尽的数，要在实数范围内表示。

再往后，实数与数轴的对应会升级成平面直角坐标系中点与有序数对的对应——一维的「一一对应」学扎实了，二维的坐标思想就只是多了一个方向。