直线与方程

定义

倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 $x$ 轴相交的直线，把 $x$ 轴正方向沿逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角 $\alpha$ 叫作直线的倾斜角。规定 $\alpha \in [0,\pi )$。

斜率：当倾斜角 $\alpha \ne \frac{\pi }{2}$ 时，$\tan \alpha$ 叫直线的斜率，记 $k=\tan \alpha$。$\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时斜率不存在（直线与 $y$ 轴平行）。

过两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$（$x_1\ne x_2$）的直线斜率：

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

推导

直线方程的五种形式：

形式	方程	已知条件	适用范围
点斜式	$y-y_0=k(x-x_0)$	点 $(x_0,y_0)$、斜率 $k$	斜率存在
斜截式	$y=kx+b$	斜率 $k$、纵截距 $b$	斜率存在
两点式	$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$	两点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$	$x_1\ne x_2$ 且 $y_1\ne y_2$
截距式	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	横截距 $a$、纵截距 $b$	$ab\ne 0$
一般式	$Ax+By+C=0$	系数 $A,B,C$（$A,B$ 不同时为 $0$）	任意直线

两直线位置关系（设 $l_1:y=k_{1}x+b_1$、$l_2:y=k_{2}x+b_2$）：

关系	条件
平行	$k_1=k_2$ 且 $b_1\ne b_2$
重合	$k_1=k_2$ 且 $b_1=b_2$
相交	$k_1\ne k_2$
垂直	$k_1{k}_2=-1$

距离公式：

• 点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离：

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

• 两平行线 $Ax+By+C_1=0$、$Ax+By+C_2=0$ 的距离：

$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

典例精析

例 1：求过点 $A(2,1)$、$B(4,-3)$ 的直线方程。

斜率 $k=\frac{-3-1}{4-2}=\frac{-4}{2}=-2$。

由点斜式：$y-1=-2(x-2)$，即 $2x+y-5=0$。

例 2：求点 $P(3,4)$ 到直线 $2x-y+1=0$ 的距离。

$d=\frac{|2\times 3-4+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

例 3：求过点 $(1,2)$ 且与直线 $2x-y+3=0$ 平行的直线方程。

已知直线斜率 $k=2$，所求直线斜率相同且不重合，故 $y-2=2(x-1)$，即 $2x-y=0$。

对比

已知条件	推荐方程形式
一点一斜率	点斜式
斜率与纵截距	斜截式
两点	两点式（注意竖直/水平例外）
两截距	截距式
一般情形	一般式 $Ax+By+C=0$