正弦定理

推导

设 $O$ 为外接圆圆心。作直径 $BD$，连接 $CD$，则 $\angle BCD=90°$（直径所对圆周角为直角），且 $\angle BDC$ 与 $\angle BAC=A$ 同对弧 $BC$，故 $\angle BDC=A$（$A$ 为钝角时用其补角，正弦值相同）。

在直角三角形 $BCD$ 中，斜边 $BD=2R$，对边 $BC=a$，由锐角三角函数：

$\sin \angle BDC=\frac{BC}{BD}⟹\sin A=\frac{a}{2R}⟹a=2R\sin A$

同理 $b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$，写成连比即正弦定理。$■$

典例精析

例 1：在 $△ABC$ 中，$A=60°$，$B=45°$，$a=6$，求 $b$。

由正弦定理：

$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{6\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}$

例 2：在 $△ABC$ 中，$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{2}$，$B=45°$，求 $A$。

由 $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $A=60°$ 或 $120°$。检验：$a>b$ 应有 $A>B=45°$，两解都满足；再由三角形内角和分别得 $C=75°$ 或 $15°$，本题有两解。

对比