三角形面积与等积变换

定义

三角形面积公式：

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{对应高}$

等积变换的基本事实：

1. 等底（同底）等高的两个三角形面积相等；
2. 同高（等高）的两个三角形，面积比等于底之比；
3. 同底（等底）的两个三角形，面积比等于高之比。

推导

面积公式：取 $△ABC$ 与一个全等三角形，将二者沿一边拼接，得到一个与三角形等底等高的平行四边形。平行四边形面积为「底 $\times$ 高」（沿高切下直角三角形平移补成长方形即可看出），故一个三角形的面积为其一半：

$S=\frac{1}{2}ah■$

等底等高面积相等：$S_1=\frac{1}{2}{a}_1{h}_1$，$S_2=\frac{1}{2}{a}_2{h}_2$，若 $a_1=a_2$、$h_1=h_2$，则 $S_1=S_2$。几何上：固定底边 $AB$，顶点 $C$ 在与 $AB$ 平行的直线上滑动时，高（平行线间距离）不变，面积恒为 $\frac{1}{2}AB\cdot h$。$■$

同高面积比：两三角形高相同（如共享从同一顶点引出的高、底边在同一直线上）：

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}{a}_{1}h}{\frac{1}{2}{a}_{2}h}=\frac{a_1}{a_2}$

同底面积比同理等于高之比。$■$

面积法的典型推导——直角三角形两组底高：Rt$△ABC$ 两直角边为 $a、b$、斜边为 $c$、斜边上的高为 $h_c$。同一面积用两组底高表示：

$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c{h}_c⟹h_c=\frac{ab}{c}$

这是求斜边上高的标准公式，也用于直线与圆相切时的距离计算。

典例精析

$△ABC$ 中 $D$ 为 $BC$ 上一点，$BD:DC=2:3$，求 $S_{△ABD}:S_{△ADC}$。

$△ABD$ 与 $△ADC$ 共享从 $A$ 向 $BC$ 作的高，同高面积比等于底之比：

$S_{△ABD}:S_{△ADC}=BD:DC=2:3$

进一步：$S_{△ABD}=\frac{2}{5}{S}_{△ABC}$（中线 $BD=DC$ 时两三角形等积，这也是重心分出 6 个等积小三角形的依据）。

对比

条件	面积关系
等底等高	面积相等
同高，底之比 $k$	面积比 $k$
同底，高之比 $k$	面积比 $k$
相似比 $k$	面积比 $k^2$