弦切角定理

定义

弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交（这条边是弦）、另一边和圆相切的角。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角（即等于所夹弧度数的一半）。

设切线 $PT$ 切 $\odot O$ 于 $A$，$AB$ 为弦，$\angle PAB$ 夹弧 $\widehat{AB}$，则

$\angle PAB=\angle ACB$

其中 $C$ 是弧 $\widehat{AB}$ 所对的另一侧圆周上任意一点。

推导

过切点 $A$ 作直径 $A{C}^{\prime }$，交圆于 $C^{\prime }$，连 $B{C}^{\prime }$。

第一组直角：由切线性质定理，切线垂直于过切点的半径，故

$PA\perp A{C}^{\prime }⟹\angle PA{C}^{\prime }=90^{\circ }$

所以弦切角 $\angle PAB=90^{\circ }-\angle BA{C}^{\prime }$。

第二组直角：$A{C}^{\prime }$ 是直径，由圆周角定理推论（直径所对的圆周角是直角）：

$\angle AB{C}^{\prime }=90^{\circ }$

在 Rt$△AB{C}^{\prime }$ 中两锐角互余：

$\angle A{C}^{\prime }B=90^{\circ }-\angle BA{C}^{\prime }$

比较两式：$\angle PAB$ 与 $\angle A{C}^{\prime }B$ 都等于 $90^{\circ }-\angle BA{C}^{\prime }$，故

$\angle PAB=\angle A{C}^{\prime }B■$

而 $\angle A{C}^{\prime }B$ 正是弧 $\widehat{AB}$ 所对的圆周角。当弦 $AB$ 与直径 $A{C}^{\prime }$ 的位置变化时，同法可证各种情形。

推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等；弦切角等于所夹弧所对圆心角的一半。

典例精析

例 1（证切割线定理）$PA$ 切 $\odot O$ 于 $A$，割线 $PBC$ 交圆于 $B$、$C$，求证 $P{A}^2=PB\cdot PC$（切割线定理）。

连 $AB$、$AC$。由弦切角定理：$\angle PAB=\angle ACB$（弦切角等于所夹弧 $\widehat{AB}$ 对的圆周角）；又 $\angle P$ 是 $△PAB$ 与 $△PCA$ 的公共角：

$△PAB\backsim △PCA⟹\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}⟹P{A}^2=PB\cdot PC$

例 2（求角度）$PA$ 切 $\odot O$ 于 $A$，$AB$ 为弦，$\angle PAB=50^{\circ }$，求弧 $\widehat{AB}$ 所对的圆周角与圆心角。

弦切角 $50^{\circ }$ 等于所夹弧所对的圆周角，故圆周角为 $50^{\circ }$；圆心角是它的两倍：

$圆心角=2\times 50^{\circ }=100^{\circ }$

（也可直接由”弦切角等于所夹弧度数的一半”得所夹弧为 $100^{\circ }$，即圆心角 $100^{\circ }$。）

对比

角的类型	顶点	与所对弧度数关系
圆心角	圆心	等于弧度数
圆周角	圆上	等于弧度数的一半
弦切角	圆上（切点）	等于所夹弧度数的一半

与其他知识的联系

• 切线的判定与性质：弦切角有一边是切线，证题时先由切线性质（垂直过切点的半径）构造直角，本定理的证明正是从这里出发。
• 圆周角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，二者弧度数算法一致（都是所夹弧的一半），可统一记忆。
• 圆幂定理：切割线定理（$P{T}^2=PA\cdot PB$）的证明直接依赖弦切角定理（由弦切角等于圆周角推出相似），是圆幂定理的”引理”。
• 相似三角形：弦切角常用于”转移角”，配合公共角得到 AA 相似，从而导出比例线段。