圆幂定理

推导

相交弦定理：连 $AC$、$BD$。在 $△PAC$ 与 $△PDB$ 中：

• $\angle APC=\angle DPB$（对顶角相等）；
• $\angle PAC=\angle PDB$（同对弧 $\widehat{BC}$ 的圆周角相等）。

$\therefore △PAC\backsim △PDB$（两角对应相等），故

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}⟹PA\cdot PB=PC\cdot PD■$

割线定理：连 $AD$、$BC$。$\angle P$ 公共，$\angle PDA=\angle PBC$（同对弧 $\widehat{AC}$ 的圆周角相等），$\therefore △PAD\backsim △PCB$：

$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}⟹PA\cdot PB=PC\cdot PD■$

切割线定理：连 $TA$、$TB$。由弦切角定理（弦切角等于所夹弧所对的圆周角）：$\angle PTA=\angle PBT$；又 $\angle P$ 公共，$\therefore △PTA\backsim △PBT$：

$\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}⟹P{T}^2=PA\cdot PB■$

统一观点：设 $PO=d$、半径 $r$。可以证明上述乘积都等于 $|d^2-r^2|$——点在圆外为 $d^2-r^2=P{T}^2>0$，点在圆内为 $r^2-d^2>0$。这个定值称为点 $P$ 对圆的幂。

典例精析

例 1（切割线）$P$ 是 $\odot O$ 外一点，割线 $PAB$ 中 $PA=2$、$AB=6$，切线 $PT$ 切圆于 $T$，求切线长。

整条割线 $PB=PA+AB=8$。由切割线定理：

$P{T}^2=PA\cdot PB=2\times 8=16⟹PT=4$

例 2（相交弦）圆内两弦 $AB$、$CD$ 交于 $P$，$PA=3$、$PB=8$、$PC=4$，求 $PD$。

由相交弦定理：

$PA\cdot PB=PC\cdot PD⟹3\times 8=4\times PD⟹PD=6$

列式关键：相交弦是”交点到两端点”的两段相乘（$PA\cdot PB$），不是整条弦长相乘；割线是”外段 × 整条”（$PA\cdot PB$ 中 $P$ 在外），二者结构相同但线段取法不同。

对比

与其他知识的联系

• 相似三角形：三个定理的证明全部通过”连辅助线构造相似三角形”完成，圆幂定理本质是相似三角形对应边成比例在圆上的系统化。
• 圆周角定理：证明相似需要”同弧所对圆周角相等”，圆周角是圆幂定理的角相等依据。
• 弦切角定理：切割线定理证明中 $\angle PTA=\angle PBT$ 正是弦切角定理，是圆幂定理的又一”引理”。
• 切线长定理：切线长定理是圆幂定理的特例（从圆外一点引两条切线，$P{T}_1=P{T}_2$），二者都描述圆外点的线段乘积结构。