直线与圆的位置关系

定义

设 $\odot O$ 半径为 $r$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$（垂线段长度），则直线与圆的位置关系有三种：

位置关系	数量关系	公共点个数	公共点名称
相离	$d>r$	0	—
相切	$d=r$	1	切点
相交	$d<r$	2	交点（割线）

判定只需比两个数：把「位置关系」翻译成 $d$ 与 $r$ 的大小比较。这里的 $d$ 必须是圆心到直线的垂线段长度——题目给的是「圆心到直线上某点的距离」时不能直接代用，因为那个点未必是垂足。

也可以反过来用公共点个数判定：$0$ 个是相离，$1$ 个是相切，$2$ 个是相交。两种标准等价，做题时看哪个条件容易算。

相交时的弦长

直线与圆相交时，$d$ 就是这条弦的弦心距。半径、半弦、弦心距构成直角三角形，故半弦长为

$\frac{a}{2}=\sqrt{r^2-d^2}$

于是弦长 $a=2\sqrt{r^2-d^2}$。$d$ 越小弦越长；$d=0$ 时弦经过圆心，是最长的弦（直径）。

这条式子把「位置判定」与「长度计算」接了起来：先判定相交，再用弦心距算弦长。

推导

设圆心 $O$ 到直线 $l$ 的垂足为 $P$，则 $OP=d$。直线 $l$ 上任一点 $X$ 到 $O$ 的距离，在 Rt$△OPX$ 中满足：

$O{X}^2=O{P}^2+P{X}^2=d^2+P{X}^2$

点 $X$ 在圆上当且仅当 $OX=r$，即

$P{X}^2=r^2-d^2$

• $d>r$：右边为负，方程无解，直线上没有圆上的点，相离；
• $d=r$：唯一解 $PX=0$，即只有垂足 $P$ 一个公共点，相切，且 $OP\perp l$（这正是切线性质）；
• $d<r$：$PX=\pm \sqrt{r^2-d^2}$ 有两个解，垂足两侧各一个公共点，相交，直线是割线。$■$

相交时公共弦被垂足平分（垂径定理），半弦长为 $\sqrt{r^2-d^2}$。

典例精析

Rt$△ABC$ 中 $\angle C=90^{\circ }$、$AC=3$、$BC=4$，以 $C$ 为圆心、$r$ 为半径作圆，$r$ 取何值时圆与斜边 $AB$ 相切？

斜边 $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。由面积法求 $C$ 到 $AB$ 的距离（斜边上的高）：

$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot d⟹d=\frac{12}{5}=2.4$

当 $r=d=\frac{12}{5}$ 时圆与 $AB$ 相切。

由这个 $d$ 还能直接读出完整的取值范围：$r<\frac{12}{5}$ 时相离，$r=\frac{12}{5}$ 时相切，$r>\frac{12}{5}$ 时相交。这类「$r$ 取何值时……」的题，本质上都是先把 $d$ 算出来，再让 $r$ 与它比大小。

再练一道求弦长的：圆半径为 $5$，圆心到直线 $l$ 的距离为 $3$，求直线 $l$ 截圆所得弦的长。

由 $d=3<r=5$ 知直线与圆相交。半弦长为

$\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$

故弦长为 $8$。

对比

判断依据	相离	相切	相交
距离 d 与 r	$d>r$	$d=r$	$d<r$
公共点	0	1	2
直线名称	—	切线	割线
弦长	—	0	$2\sqrt{r^2-d^2}$

与其他知识的联系

直线与圆的位置关系是三种位置关系（点与圆、直线与圆、圆与圆）的中间一环，判定思路完全一致：把位置关系翻译成某个距离与半径的比较。点的距离是点到圆心，直线的距离是圆心到直线的垂线段，圆的情形则是圆心距。

它与另外两块内容直接相接：相切时 $d=r$ 正是切线的定义与判定依据；相交时 $d$ 就是弦心距，于是接上了垂径定理与弦长计算。