位似图形的性质

定义

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点 $O$，对应边互相平行（或在同一直线上），就说这两个图形位似，点 $O$ 叫位似中心，相似比又叫位似比。

位似一定相似，相似不一定位似。位似比相似多了两个「位置」上的硬条件：对应顶点连线共点、对应边平行（或共线）。两个三角形只要相似，无论怎么摆放都相似；但要叫「位似」，它们必须摆出「从一个中心缩放出来」的架势。

内位似与外位似：看一对对应点与位似中心的位置——对应点在位似中心的同侧叫外位似（图形向同方向放大缩小）；在异侧（位似中心夹在两个图形之间）叫内位似。内外位似在坐标系里表现为位似比 $k$ 的正负号。

位似中心可以在任何位置：图形外、图形内、某条边上、某个顶点处都可以。只要「对应顶点连线共点」成立，那个交点就是位似中心。

推导（性质）

设 $△ABC$ 与 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 位似，位似中心为 $O$，即 $A$、$A^{\prime }$、$O$ 共线，$B$、$B^{\prime }$、$O$ 共线，$C$、$C^{\prime }$、$O$ 共线，且 $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$。

性质 1：对应点到位似中心的距离之比等于位似比。在 $△OAB$ 与 $△O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 中，$AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$，由平行线分线段成比例（A 字型）：

$\frac{OA}{O{A}^{\prime }}=\frac{OB}{O{B}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k$

同理 $\frac{OC}{O{C}^{\prime }}=k$，故三对对应点到中心距离之比都等于位似比 $k$。$■$

性质 2：对应边平行（或共线），图形相似。这是位似的定义条件；由上述比例与平行线关系，两三角形三角对应相等，故相似且相似比为 $k$。$■$

性质 3（坐标系推论）：以原点为位似中心、位似比为 $k$ 时，每个点 $(x,y)$ 的对应点为 $(kx,ky)$。因为新点在原点与原对应点的连线上，且到原点距离为原来的 $|k|$ 倍，横纵坐标按同一比例 $k$ 缩放。$■$

典例精析

$△ABC$ 顶点 $A(1,2)$、$B(3,1)$、$C(2,4)$，以原点为位似中心、位似比 $\frac{1}{2}$ 在同侧缩小，求新三角形顶点。

坐标同乘 $\frac{1}{2}$：

$A^{\prime }\left(\frac{1}{2},1\right),B^{\prime }\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right),C^{\prime }(1,2)$

验证：直线 $A{A}^{\prime }$、$B{B}^{\prime }$、$C{C}^{\prime }$ 都过原点，且 $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$。

例 2（内位似，负比）：$△ABC$ 顶点 $A(1,2)$、$B(3,1)$、$C(2,4)$，以原点为位似中心、位似比为 $-2$，求对应三角形顶点。

内位似时对应点在原点两侧，坐标乘 $-2$：

$A^{\prime }(-2,-4),B^{\prime }(-6,-2),C^{\prime }(-4,-8)$

此时 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 在第三象限，与原图形关于原点「反向放大」——这正是内位似的几何含义：位似比取负，图形跑到中心的另一侧去。

位似比的正负：$k>0$ 是同侧（外位似），$k<0$ 是异侧（内位似）；$|k|>1$ 放大，$0<|k|<1$ 缩小。

对比

变换	形状	大小	位置约束
全等变换（平移/翻折/旋转）	不变	不变	各自要素
相似	不变	可缩放	无
位似	不变	缩放比统一	对应顶点连线共点、对应边平行

与其他知识的联系

位似是「相似」与「图形变换」的交汇：它把相似三角形放到一个中心周围，让「缩放」这个动作有了确定的中心。它的性质几乎全由平行线分线段成比例（A 字型）推出，所以位似图形天然带出一串平行与比例。

在坐标系里，位似就是「坐标乘 $k$」，把几何缩放翻译成了代数运算——这是数形结合的一个典型例子。往后，测量不可达物体高度、把图形按比例放缩（地图、工程图）都用到位似；而「以原点为中心的缩放」也会在函数图象变换里再次出现。