平行线的概念与平行公理

定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线 $a$、$b$ 平行，记作 $a\parallel b$。

同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：

• 相交：有且只有一个公共点（垂直是相交的特殊情况，夹角为 $90°$）
• 平行：没有公共点

定义中「同一平面内」五个字不能少。在空间中，存在既不平行也不相交的两条直线（如教室里前后方向的墙脚线与左右方向的墙顶线），称为异面直线，初中阶段只研究同一平面内的两条直线。

推导

平行公理（基本事实）

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

要点有三：

1. 点必须在直线外：点在直线上时，过该点的任何直线都与它相交或重合，不存在平行线
2. 「有」表示存在，「只有」表示唯一
3. 它是基本事实，由画平行线的操作（直尺紧靠三角尺平移）直接确认，不需证明

平行公理的推论

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

符号语言：若 $a\parallel c$，$b\parallel c$，则 $a\parallel b$。

说理思路（反证）：假设 $a$ 与 $b$ 相交于点 $P$，那么过点 $P$ 就有 $a$、$b$ 两条直线都平行于 $c$，与平行公理「过直线外一点有且只有一条平行线」矛盾。故 $a$ 与 $b$ 不相交，又在同一平面内，所以 $a\parallel b$。$■$

这条推论也叫平行线的传递性，它本身就是判定两直线平行的方法之一。

平行线的画法

用直尺和三角尺画平行线，口诀是「一落、二靠、三移、四画」：

1. 把三角尺的一边落在已知直线上
2. 用直尺紧靠三角尺的另一边
3. 沿直尺平移三角尺
4. 沿原来落在已知直线上的那条边画出直线

整个过程中三角尺与直尺的夹角不变，相当于让同位角保持相等——这正是「同位角相等，两直线平行」这一判定方法的操作来源。

典例精析

判断下列说法是否正确：

1. 不相交的两条直线一定平行。——错误，缺少「同一平面内」，异面直线既不相交也不平行。
2. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行。——错误，应是过直线外一点。
3. 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行。——正确，它们的同位角都是 $90°$，由同位角相等可判定平行（这是常用推论）。

再练一道：若直线 $a\parallel b$，$b\parallel c$，且 $a$ 与 $c$ 不重合，则 $a$ 与 $c$ 的位置关系是什么？

由平行公理的推论，$a\parallel c$。

对比

位置关系	公共点个数	前提
相交	恰好一个	同一平面内
平行	零个	同一平面内
异面	零个	不在同一平面内（初中不研究）

与其他知识的联系

平行线是平行线判定与性质的研究对象，也是后续几何的主干图形：三角形内角和定理的证明要作辅助平行线；平行四边形的定义直接使用平行关系；到了八年级，平行线间的距离、梯形的研究都建立在平行概念之上。

学习本节只需抓住一句话：平行是有前提的「不相交」，公理是有条件的「唯一」——前提是同一平面，条件是点在直线外。