中心对称的性质

定义

把一个图形绕某一点旋转 $180^{\circ }$，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点中心对称，该点叫对称中心。

一个图形绕某点旋转 $180^{\circ }$ 后与自身重合，它就是中心对称图形。

「中心对称」与「中心对称图形」是一对要分清的词：中心对称说的是两个图形之间的关系（甲绕点转 $180^{\circ }$ 与乙重合）；中心对称图形说的是一个图形自身的性质（它转 $180^{\circ }$ 与自身重合）。前者涉及两个图形，后者只涉及一个。同一组图形若关于某点中心对称，把它们看成一个整体，这个整体就是一个中心对称图形。

推导（性质）

中心对称是旋转角为 $180°$ 的特殊旋转，由旋转的性质直接推出：

性质 1：对应点到中心距离相等。$OA=O{A}^{\prime }$。

性质 2：对应点连线经过对称中心并被它平分。旋转角 $\angle AO{A}^{\prime }=180^{\circ }$，说明射线 $OA$ 与 $O{A}^{\prime }$ 方向相反，即 $A$、$O$、$A^{\prime }$ 三点共线；又 $OA=O{A}^{\prime }$，故 $O$ 是 $A{A}^{\prime }$ 中点。合起来：对称中心是每对对应点连线的公共中点。$■$

性质 3：对应线段平行（或在同一直线上）且相等。由 $OA=O{A}^{\prime }$、$OB=O{B}^{\prime }$，四边形 $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 的对角线 $A{A}^{\prime }$、$B{B}^{\prime }$ 互相平分（都被 $O$ 平分），故 $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 是平行四边形，于是

$AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime },AB=A^{\prime }{B}^{\prime }■$

逆命题（判定）：若两个图形的对应点连线都经过某一点且被该点平分，则两图形关于这一点中心对称（把图形绕该点旋转 $180°$ 即重合）。

典例精析

例 1：平行四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，说明它是中心对称图形。

平行四边形对角线互相平分：$OA=OC$、$OB=OD$，即每对顶点连线都经过 $O$ 且被 $O$ 平分。绕 $O$ 旋转 $180°$ 后 $A\leftrightarrow C$、$B\leftrightarrow D$，图形与自身重合。

故平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。

例 2（坐标系）：点 $P(2,-5)$ 关于原点的对称点坐标是什么？

关于原点中心对称，横、纵坐标都变号：

$P^{\prime }(x,y)=(-2,5)$

这与关于 $x$ 轴（纵坐标变号）或 $y$ 轴（横坐标变号）的对称都不一样，要记清是「两个都变号」。

对比

图形	轴对称	中心对称
平行四边形	一般不是	是
矩形/菱形	是（2 条）	是
正方形	是（4 条）	是
等边三角形	是（3 条）	否
正五边形	是（5 条）	否
圆	是（无数条）	是

与其他知识的联系

中心对称是旋转的特殊情形（旋转角 $180^{\circ }$），所以它继承了旋转的全部性质，又比一般旋转多出「对应点连线过中心且被平分」这条更强的结论——它恰好是平行四边形的判定依据。

往下游，它与轴对称构成「两种基本对称」：轴对称沿直线翻折，中心对称绕点旋转。平行四边形之所以是中心对称图形，正是因为它的对角线互相平分；而「关于原点对称」的坐标规律，也是坐标系里最常用的一条变换。往后，这些对称性在函数图象（如反比例函数、正比例函数关于原点对称）里会反复出现。