平行线分线段成比例定理

定义

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组（三条或更多）平行线所截，所得的对应线段成比例。

三角形中的形式：$△ABC$ 中，直线 $DE\parallel BC$，$D$ 在 $AB$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，则

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

逆定理：若直线 $DE$ 截 $AB$、$AC$ 所得对应线段成比例 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，则 $DE\parallel BC$。

推导

三角形中（用相似）：$DE\parallel BC$，则

$\angle ADE=\angle ABC,\angle AED=\angle ACB(\text{同位角相等})$

故 $△ADE\backsim △ABC$（两角对应相等），相似比为 $\frac{AD}{AB}$：

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$

由分比性质（分子分母同减对应项）：

$\frac{AD}{AB-AD}=\frac{AE}{AC-AE}⟹\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}■$

一般形式（三条平行线截两直线）：$l_1\parallel l_2\parallel l_3$ 截直线 $a$ 于 $A$、$B$、$C$，截直线 $b$ 于 $D$、$E$、$F$。平移直线 $b$ 使 $D$ 与 $A$ 重合，图形化为三角形中「两边被平行线所截」的情形，由上面的结论得

$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}■$

逆定理：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ 时，假设 $DE$ 不平行于 $BC$，可过 $D$ 作 $D{E}^{\prime }\parallel BC$ 交 $AC$ 于 $E^{\prime }$，由正定理 $\frac{AD}{DB}=\frac{A{E}^{\prime }}{E^{\prime }C}$，与 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ 比较，由比例的唯一性 $E^{\prime }$ 与 $E$ 重合，故 $DE\parallel BC$。$■$

典例精析

例 1（A 字型分段）$△ABC$ 中 $DE\parallel BC$，$AD=4$、$DB=6$、$AE=3$，求 $EC$ 和 $AC$。

由 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$：

$\frac{4}{6}=\frac{3}{EC}⟹EC=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$

$AC=AE+EC=3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

例 2（逆定理判断平行）$△ABC$ 中，$D$ 在 $AB$ 上、$E$ 在 $AC$ 上，$AD=5$、$DB=10$、$AE=4$、$EC=8$，判断 $DE$ 与 $BC$ 是否平行。

比较对应线段的比：

$\frac{AD}{DB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},\frac{AE}{EC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

两比相等，由逆定理，$DE\parallel BC$。

注意：比例要「上比下」对上比下（$\frac{AD}{DB}$ 对 $\frac{AE}{EC}$），不能拿 $\frac{AD}{DB}$ 去对 $\frac{AE}{AC}$。判断平行只验证分段比即可。

对比

基本图形	比例式
A 字型（$DE\parallel BC$）	$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
A 字型（分段）	$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$
8 字型（对顶两三角形）	$\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}=\frac{AC}{BD}$
三条平行线	$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

与其他知识的联系

• 相似三角形的判定：$DE\parallel BC$ 直接给出 $△ADE\backsim △ABC$（AA），本定理是相似判定的”平行线触发器”，也是相似三角形性质中对应边成比例的直接来源。
• 三角形中位线：中位线是 $D$、$E$ 都为中点时的特例（$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=1$），中位线平行且等于第三边一半。
• 比例的基本性质：由 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ 推出 $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，用的是合比/分比性质，二者是代数工具与几何结论的结合。
• 平行线等分线段：当比值为 $1$（$AD=DB$）时，本定理退化为平行线等分线段定理，等分是成比例的特例。