人教A版选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》教材同步学习指南

学习顺序

7.1 条件概率与全概率公式

条件概率：在事件 $A$ 发生（$P(A)>0$）的条件下事件 $B$ 发生的概率

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}.$

直观：样本空间缩小到 $A$。变形得乘法公式 $P(AB)=P(A)P(B|A)$。若 $P(B|A)=P(B)$，则 $A,B$ 相互独立——独立是「条件不影响概率」。

全概率公式：设 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 两两互斥且 $\bigcup A_i=\Omega$（完备事件组），$P(A_i)>0$，则对任意事件 $B$

$P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i).$

即「按原因分类，各原因概率乘上该原因下结果的概率，再相加」。解题关键是找齐完备事件组，缺一不可。

7.2 离散型随机变量及其分布列

随机变量 $X$ 取值为 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，对应概率 $p_i=P(X=x_i)$，列表即分布列。两条基本性质（规范性检验标准）：

$p_i\ge 0(i=1,2,\dots ,n),p_1+p_2+\cdots +p_n=1.$

求分布列的程序：确定 $X$ 的所有可能取值 → 逐个算概率（古典概型或计数原理）→ 列表 → 验概率和为 1。

7.3 离散型随机变量的数字特征

均值（数学期望）：$E(X)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$，刻画取值的平均水平（概率加权平均）。线性性质 $E(aX+b)=aE(X)+b$。

方差：$D(X)={\sum }_{i=1}^n(x_i-E(X){)}^2{p}_i$，刻画取值的波动（离散）程度；常用等价式 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。性质 $D(aX+b)=a^{2}D(X)$（平移不改变波动）。

7.4 二项分布与超几何分布

二项分布：$n$ 重伯努利试验（各次独立、每次成功概率 $p$ 相同）中成功次数 $X\sim B(n,p)$，

$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,\dots ,n),$

$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。公式外形正是 $(q+p{)}^n$ 展开式的通项——与二项式定理呼应。

超几何分布：从含 $M$ 件次品的 $N$ 件产品中不放回抽取 $n$ 件，次品数 $X$ 服从超几何分布，

$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},$

$E(X)=\frac{nM}{N}$。判别法则：有放回或独立重复→二项分布；不放回且总体有限→超几何分布。

7.5 正态分布

若随机变量 $X$ 的概率密度曲线为钟形曲线 ${\phi }_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$，则 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。曲线关于 $x=\mu$ 对称，$\sigma$ 越小曲线越「高瘦」。$3\sigma$ 原则：

$P(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma )\approx 0.6827,P(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )\approx 0.9545,P(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )\approx \mathrm{0.9973.}$

落在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的概率仅约 $0.3\%$，质量检测据此判异常。利用对称性 $P(X>\mu +a)=P(X<\mu -a)$ 可由一侧概率求另一侧。

本章的三条主线结论

1. 变量化是概率论的分水岭：随机变量把「事件」变成「数」，分布列完整刻画随机现象，均值方差给出压缩画像。
2. 条件概率与全概率是依赖关系的代数：乘法公式链式展开，全概率按完备原因组求和，独立性是特例。
3. 两个模型各管一种抽样：二项分布对应独立重复（$E=np$），超几何分布对应不放回（$E=\frac{nM}{N}$）；正态分布则是一般连续随机现象的理想模型，对称性与 $3\sigma$ 原则是计算工具。

最易错：条件概率分母用错、全概率漏原因、分布列忘验和为 1、二项与超几何混用、正态对称轴找错。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 掷两枚骰子，已知点数和为 8，求其中一枚为 3 的概率。——和为 8 的结果 5 种，含 3 的有 $(3,5),(5,3)$ 共 2 种，$P=\frac{2}{5}$。
2. 某厂三台机床产量占 $25\%,35\%,40\%$，次品率分别为 $5\%,4\%,2\%$，求全厂次品率。——$P=0.25\times 0.05+0.35\times 0.04+0.40\times 0.02=0.0345$。
3. $X$ 的分布列为 $P(X=0)=0.3$、$P(X=1)=0.5$、$P(X=2)=0.2$，求 $E(X)$、$D(X)$。——$E=0.9$；$E(X^2)=0.5+0.8=1.3$，$D=1.3-0.81=0.49$。
4. $X\sim B(6,\frac{1}{3})$，求 $E(X)$ 与 $P(X=2)$。——$E=2$；$P(X=2)=C_6^2(\frac{1}{3}{)}^2(\frac{2}{3}{)}^4=\frac{80}{243}$。
5. 从 4 件正品 2 件次品中不放回抽 2 件，求次品数 $X$ 的分布列。——$P(X=0)=\frac{C_4^2}{C_6^2}=\frac{2}{5}$，$P(X=1)=\frac{C_2^1{C}_4^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}$，$P(X=2)=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$，和为 1。
6. $X\sim N(2,9)$，求 $P(X>5)$。——$\mu =2,\sigma =3$，$5=\mu +\sigma$，$P(X>\mu +\sigma )\approx \frac{1-0.6827}{2}\approx 0.1587$。

第 1 题出错说明条件概率的样本空间缩小没理解；第 2 题出错说明全概率模型不熟；第 4、5 题出错说明两个分布的判别与公式不牢；第 6 题出错说明正态对称性不会用。

7.（综合）某射手命中率为 $0.6$，独立射击 5 次。求：① 恰好命中 3 次的概率；② 至少命中 1 次的概率；③ 命中次数的期望与方差。——① $C_5^3\cdot 0.6^3\cdot 0.4^2=0.3456$；② $1-0.4^5=0.98976$；③ $E=3$，$D=1.2$。

学完本章之后

• 选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》：由「一个随机变量」走向「两个变量的相关关系」，统计推断继续深入。
• 高考：概率统计大题的稳定模式是「求分布列 → 求期望方差 → 决策比较」，二项分布与超几何分布的判别是高频易错点。
• 实际应用：质量检测（$3\sigma$ 判异）、保险精算、医学筛查（全概率与贝叶斯思想）、可靠性工程都以本章为模型库。

一句口诀收尾：条件概率缩空间，全概率按原因加；分布列里两性质，均值方差双特征；独立重复二项管，不放回用超几何；正态钟形对称轴，$3\sigma$ 之外是异常。