离散型随机变量的数学期望

推导

加权平均解释：把试验独立重复 $N$ 次，取值 $x_i$ 大约出现 $N{p}_i$ 次，全部结果的平均值约为

$\frac{\sum x_i(N{p}_i)}{N}=\sum x_i{p}_i=E(X)$

这正是大数定律下样本均值趋近的量。

线性性质推导：由定义，

$E(aX+b)=\sum (a{x}_i+b)p_i=a\sum x_i{p}_i+b\sum p_i=aE(X)+b$

其中用到了 $\sum p_i=1$。

重要不等式：由方差非负 $D(X)=E(X^2)-(EX{)}^2\ge 0$，得

$E(X^2)\ge (EX{)}^2$

即平方的期望不小于期望的平方——它是柯西不等式在概率中的形态，可反向用于代数最值问题。

典例精析

例 1：某游戏得分 $X$ 的分布列为 $P(X=0)=0.2$，$P(X=5)=0.5$，$P(X=10)=0.3$，求期望。

$E(X)=0\times 0.2+5\times 0.5+10\times 0.3=5.5\text{ 分}$

例 2（构造期望证不等式）：已知 $u^2+v^2=7$，求证 $u+\frac{v}{\sqrt{7}}\le 2\sqrt{2}$。构造随机变量 $X$ 以概率 $\frac{7}{8}$、$\frac{1}{8}$ 分别取 $u\sqrt{\frac{8}{7}}$、$v\sqrt{8}$，则

$E(X^2)=\frac{7}{8}\cdot \frac{8}{7}{u}^2+\frac{1}{8}\cdot 8v^2=u^2+v^2=7$

$EX=\frac{7}{8}u\sqrt{\frac{8}{7}}+\frac{1}{8}v\sqrt{8}=\sqrt{\frac{7}{8}}\left(u+\frac{v}{\sqrt{7}}\right),(EX{)}^2=\frac{7}{8}{\left(u+\frac{v}{\sqrt{7}}\right)}^2$

由 $E(X^2)\ge (EX{)}^2$ 得 ${\left(u+\frac{v}{\sqrt{7}}\right)}^2\le 8$，即 $u+\frac{v}{\sqrt{7}}\le 2\sqrt{2}$；等号当 $X$ 的两个取值相等（方差为零）时取得。

对比