人教A版选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》教材同步学习指南

学习顺序

8.1 成对数据的统计相关性

散点图是定性工具：点从左下到右上分布为正相关，左上到右下为负相关；点大致落在一条直线附近为线性相关。样本相关系数

$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}},$

取值 $[-1,1]$：$r>0$ 正相关、$r<0$ 负相关；$|r|$ 越接近 1，线性相关越强；$r=0$ 只表明无线性相关，不排除其他形式的关系。相关不等于因果——冰激凌销量与溺水人数正相关，共同原因是气温。

8.2 一元线性回归模型及其应用

模型：$y=bx+a+e$，其中 $e$ 是随机误差（刻画随机因素与模型简化带来的偏差）。最小二乘法选择使残差平方和 $\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$ 最小的直线，得

$\hat{b}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2},\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}.$

经验回归直线 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 恒过样本中心 $(\bar{x},\bar{y})$——这是求 $\hat{a}$ 与验算的抓手。回归直线可用于解释（$\hat{b}$ 表示 $x$ 每增一个单位 $y$ 平均变化量）与预测（代入 $x$ 得 $\hat{y}$），但外推到数据范围之外要谨慎。

8.3 列联表与独立性检验

$2\times 2$ 列联表整理两个分类变量的频数：

独立性检验：在「$X$ 与 $Y$ 无关」的零假设下，

${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},$

${\chi }^2$ 越大，数据与「无关」假设越矛盾。与临界值比较（如 $x_{0.05}=3.841$、$x_{0.01}=6.635$）：${\chi }^2\ge x_{\alpha }$ 时，在犯错误概率不超过 $\alpha$ 的前提下认为两变量有关；小于临界值则说没有充分证据认为有关（不能断言无关）。等高堆积条形图可作直观预判。

本章的三条主线结论

1. 统计研究的是带随机性的关系：相关关系不是函数关系，结论都要带概率语言，因果判断超出数据本身。
2. 一条「定性 → 定量 → 建模 → 推断」的完整链条：散点图粗看、$r$ 定强弱、回归直线建模预测、${\chi }^2$ 检验分类变量关联。
3. 两个公式的结构即思想：$\hat{b}$ 是标准化协变程度（与 $r$ 同分子），${\chi }^2$ 度量观测频数与「无关假设」下期望频数的总偏差。

最易错：$r$ 的符号与强度混读、回归直线过点记成原点、${\chi }^2$ 结论方向说反、把「没有充分证据」写成「无关」。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 判断：$r=-0.85$ 与 $r=0.6$ 哪个线性相关更强？——$|-0.85|>0.6$，前者更强（负相关）。
2. 已知 $\bar{x}=3,\bar{y}=12$，$\hat{b}=2$，求经验回归方程。——$\hat{a}=12-2\times 3=6$，$\hat{y}=2x+6$。
3. 回归直线 $\hat{y}=1.5x+1$ 中，$x$ 每增加 2 个单位，$\hat{y}$ 约变化多少？——增加 $3$ 个单位。
4. $r\approx 0$ 能说明两变量无关吗？——不能，只说明无线性相关，可能有非线性关系。
5. $2\times 2$ 列联表中 $a=30,b=10,c=20,d=40$，计算 ${\chi }^2$。——$n=100$，${\chi }^2=\frac{100\times (1200-200{)}^2}{40\times 60\times 50\times 50}=\frac{100\times 10^6}{6\times 10^6}\approx 16.67$。
6. 上题中，对照 $x_{0.01}=6.635$ 下结论。——$16.67>6.635$，在犯错误概率不超过 $0.01$ 的前提下认为两变量有关。

第 1 题出错说明强度看绝对值没掌握；第 2 题出错说明过样本中心不熟；第 5、6 题出错说明 ${\chi }^2$ 公式与结论表述不过关。

学完本章之后

• 高考：回归方程求系数、由相关系数判断强弱、${\chi }^2$ 计算与下结论是概率统计大题第二问的常见形态。
• 大学衔接：本章是统计学导论的雏形，后续将学习多元回归、假设检验的完整体系。
• 实际应用：市场调研、医学统计、社会调查、机器学习中的线性模型都以本章思想为源头。

一句口诀收尾：散点定性 $r$ 定量，符号方向强弱看绝对；最小二乘拟直线，样本中心必经过；列联表里算 ${\chi }^2$，超过临界判有关；统计语言讲概率，相关从来不等于因果。