平均数（算术平均数与加权平均数）

Q: 平均速度为什么不能把速度直接平均？

平均速度的定义是总路程除以总时间，时间才是各段速度的权重。等时两段可直接平均，等距两段要用调和平均 $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$。

平均数（算术平均数与加权平均数）

平均数 $\bar x=\frac1n(x_1+\cdots+x_n)$ 反映数据的集中趋势；加权平均数 $\bar x=\frac{w_1x_1+\cdots+w_kx_k}{w_1+\cdots+w_k}$ 按重要程度给各数据不同权重。

适用前提与边界条件

参与平均的数据是同一指标下的数值，单位必须统一
权重 $w_i$ 为非负数且不全为零；权重相等时加权平均数退化为算术平均数
平均数受极端值影响大，数据存在异常值时应结合中位数一起解读

定义

算术平均数：对 $n$ 个数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，

$\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$

加权平均数：若数据 $x_{1}, \dots, x_{k}$ 的权重分别为 $w_{1}, \dots, w_{k}$ （ $w_{i} \geq 0$ ，不全为零），则

$\overset{x}{ˉ} = \frac{w _{1} x _{1} + w _{2} x _{2} + \dots + w _{k} x _{k}}{w _{1} + w _{2} + \dots + w _{k}}$

平均数刻画数据的集中趋势（平均水平），是数据的「重心」。

推导

平均数的本质是「移多补少」：把总和 $\sum x_{i}$ 平均分成 $n$ 份，每份恰好为 $\overset{x}{ˉ}$ ，于是 $n \overset{x}{ˉ} = \sum x_{i}$ ，超过平均数的部分之和等于低于平均数的部分之和：

$\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overset{x}{ˉ}) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - n \overset{x}{ˉ} = 0$

加权形态同理：把总权重 $\sum w_{i}$ 看成总份数，数据 $x_{i}$ 占有 $w_{i}$ 份，平均每份为加权平均数。这一性质是方差化简（离差和为零）的基础。

典例精析

例 1：某班 10 名学生数学成绩为 $72, 85, 78, 90, 95, 68, 88, 82, 76, 86$ ，求平均分。

$\overset{x}{ˉ} = \frac{72 + 85 + 78 + 90 + 95 + 68 + 88 + 82 + 76 + 86}{10} = \frac{820}{10} = 82 分$

例 2：甲走前半段路程速度为 $4$ 千米/时、后半段为 $6$ 千米/时（按等距），求全程平均速度。

设半程为 $s$ ，平均速度等于总路程除以总时间：

$\overset{v}{ˉ} = \frac{2 s}{\frac{s}{4} + \frac{s}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{24}{5} = 4.8 千米 / 时$

注意不是 $\frac{4 + 6}{2} = 5$ 。

对比

统计量	公式特征	刻画内容	抗极端值
算术平均数	总和除以个数	集中趋势	弱
加权平均数	权重乘数据求和除以权重和	带重要程度的平均	取决于权重
中位数	排序后居中	中间位置	强
方差	离差平方的平均	波动大小	弱（受极端值影响大）

正例与反例

✅ 正例

数据 $2,4,6,8$ 的平均数为 $\frac{2+4+6+8}{4}=5$
平时、期中、期末按 $2:3:5$ 计入总评，成绩 $80,90,70$ ，则总评 $\frac{2\times80+3\times90+5\times70}{10}=78$ 分

❌ 反例

求两段路的平均速度时直接 $(v_1+v_2)/2$ 是错的，速度的权重是时间，应为总路程除以总时间

高频误解与考试易错

求加权平均数时忘记除以权重之和，只除以数据个数
把「去掉一个最高分一个最低分」后的平均仍按原始个数计算
比较两组数据的平均水平时不确认两组的总份数是否可比
频率作为权重时直接用频率平均而不是乘数值后求和

常见问题

算术平均数和加权平均数什么时候相等？

当各数据的权重都相等时，加权平均数就是算术平均数；权重不同时两者一般不相等。

平均速度为什么不能把速度直接平均？

平均速度的定义是总路程除以总时间，时间才是各段速度的权重。等时两段可直接平均，等距两段要用调和平均

\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}

。

平均数为什么容易被极端值带偏？

每个数据都以相同权重进入求和，一个极大值会把总和整体抬高。评委打分去掉最高最低分，就是为了削弱这种影响。

依据与出处

人教版（2024 审定）八年级下册第二十四章《数据的分析》（2026 春起使用）

平均数（算术平均数与加权平均数）

适用前提与边界条件

定义

推导

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对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

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