数据的收集与整理

定义

全面调查：对全体对象进行考察。结果准确但工作量大。

抽样调查：从总体中抽取一部分（样本）进行调查。工作量小但结果有偏差。

四个基本概念必须先分清：

• 总体：所要考察对象的全体
• 个体：总体中的每一个考察对象
• 样本：从总体中抽出的那部分个体
• 样本容量：样本中个体的数目（不带单位）

注意总体指的是「考察对象」而不是「人」：考察某批灯泡的使用寿命时，总体是这批灯泡寿命的全体，而不是这批灯泡。

数据整理常用统计图：

• 条形图：用条形高度表示各类别数据的数量，适合离散的类别
• 扇形图：用扇形面积表示各部分占总体的百分比，适合看「占比」
• 折线图：用折线的起伏表示数据随时间（或顺序）的增减变化，适合看「变化趋势」
• 直方图：用于表示连续分组数据的频数分布，适合看「分布」
• 趋势图：用一条线（直线或曲线）描述一个量与另一个量之间的关系，适合看「相关与预测」

五种图不通用：想知道各部分是多少，用条形图；想知道各部分占多大比例，用扇形图；想知道随时间怎么变，用折线图；想知道数据集中在哪个区间，用直方图；想由一个量预测另一个量，用趋势图。

推导

设总体含 $N$ 个个体，抽取样本 $n$ 个，考查某特征：

量	表达式
总体数	$N$
样本数	$n$
某类频数	$f$
该类频率	$\frac{f}{n}$
扇形圆心角	$\frac{f}{n}\times 360^{\circ }$

两条必须记住的约束：各组频数之和等于样本容量 $n$；各组频率之和等于 $1$。这两条常用来检验计算有没有漏项。

怎么选调查方式

判断的顺序是：先看代价与精度，再看是否具有破坏性。

• 范围小、精度要求高 → 全面调查。如检查航天器零部件，一个都不能漏
• 范围大、数量多 → 抽样调查。如了解全国初中生身高
• 考察具有破坏性 → 只能抽样调查。如测试炮弹射程、灯泡寿命，测完就毁了
• 事关重大、不允许出错 → 全面调查。如人口普查、考生身份核验

抽样调查的结论是否可信，取决于样本有没有代表性：样本要随机、容量要适当。只调查一个学校就说「全国初中生如何如何」，样本不具代表性，结论没有意义。

扇形图的画法

1. 算出各部分占总体的百分比
2. 用百分比乘 $360^{\circ }$，得到各部分对应的圆心角
3. 按圆心角画扇形，标注类别与百分比
4. 检查：所有圆心角之和应为 $360^{\circ }$，所有百分比之和应为 $100\%$

折线图与趋势图

折线图把数据按时间（或顺序）描点，再用线段顺次连接。它既能表示数量多少，又能直观反映增减变化：线段上升表示增加，下降表示减少，越陡变化越快。要比较两组相关数据，可画复式折线图。

趋势图是 2024 审定教材新增的统计图：用一条线（直线或曲线）描述一个量与另一个量之间的关系。把成对数据在坐标系中描点后，若各点大致分布在一条线附近，就用这条线刻画趋势，并可据此由一个量预测另一个量。

折线图与趋势图要分清：

图形	横轴	表达的关系	主要用途
折线图	时间（或顺序）	同一个量随时间变化	看增减快慢
趋势图	另一个相关量	两个量之间的关系	由一个量预测另一个量

趋势图上偏离直线较远的点要特别留意，它往往对应特殊情况或记录异常，不能为了「线好看」随意删点。

典例精析

某班 $40$ 名同学中喜欢数学的 $12$ 人。求：

• 频率：$\frac{12}{40}=0.3=30\%$；
• 扇形图圆心角：$0.3\times 360^{\circ }=108^{\circ }$。

再练一道分组的：某班 $50$ 人，身高分组后 $150$–$155$ 厘米有 $10$ 人，$155$–$160$ 厘米有 $20$ 人，其余为 $160$ 厘米以上。

• 前两组频率分别为 $\frac{10}{50}=0.2$ 与 $\frac{20}{50}=0.4$
• 其余人数为 $50-10-20=20$，频率 $0.4$
• 检验：$0.2+0.4+0.4=1$，说明没有漏项
• 对应圆心角：$0.2\times 360^{\circ }=72^{\circ }$，$0.4\times 360^{\circ }=144^{\circ }$，两组各 $144^{\circ }$

对比

调查方式	适用范围	优缺点
全面调查	范围小、精度要求高	准确但代价大
抽样调查	范围大、消耗多	省时省力但有偏差

与其他知识的联系

这一节是后面统计内容的地基：八年级学平均数、中位数与众数，回答「这组数据整体是什么水平」；九年级学概率，回答「某件事发生的可能性有多大」。它们都建立在同一个前提上——先有可信的数据，再谈分析。数据收集这一步做歪了，后面算得再准也没有意义。