人教版五年级下册第三单元《长方体和正方体》教材同步学习指南

定义

长方体：由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。有 6 个面、12 条棱、8 个顶点；相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

正方体：长、宽、高都相等的长方体（也叫立方体），6 个面都是完全相同的正方形。正方体是特殊的长方体。

表面积：长方体或正方体 6 个面的总面积。

$S_{长}=2(ab+ah+bh)S_{正}=6a^2$

体积：物体所占空间的大小。

$V_{长}=abh{V}_{正}=a^3$

容积：容器所能容纳物体的体积，从容器内部测量。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
3.1 长方体和正方体的认识	认识面、棱、顶点	6 面 12 棱 8 顶点
3.2 长方体和正方体的表面积	推导表面积公式	$S=2(ab+ah+bh)$、$S=6a^2$
3.3 体积和体积单位	建立体积概念	立方厘米、立方分米、立方米
3.4 长方体和正方体的体积	推导体积公式	$V=abh$、$V=a^3$
3.5 体积单位间的进率	单位换算	相邻单位进率 1000
3.6 容积和容积单位	区分体积与容积	升、毫升
3.7 不规则物体的体积	排水法测量	转化思想

3.1 长方体和正方体的认识

• 面：6 个面，相对的面完全相同。
• 棱：12 条棱，分 3 组（长、宽、高各 4 条），相对的棱长度相等。长方体棱长总和 $=4(a+b+h)$；正方体棱长总和 $=12a$。
• 顶点：8 个。
• 关系：正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。

3.2 长方体和正方体的表面积

推导：把长方体沿棱剪开成展开图，6 个面中相对的面面积相等。

$S_{长}=2(ab+ah+bh)S_{正}=6a^2$

实际应用：无盖鱼缸只算 5 个面；通风管只算 4 个侧面，要结合实际确定算几个面。

3.3 体积和体积单位

体积：物体所占空间的大小。

常用单位：立方厘米（${\mathrm{cm}}^3$）、立方分米（${\mathrm{dm}}^3$）、立方米（${\mathrm{m}}^3$）。

直观感知：$1{\mathrm{cm}}^3$ 约一个手指尖，$1{\mathrm{dm}}^3$ 约一个粉笔盒，$1{\mathrm{m}}^3$ 约一台洗衣机的空间。

3.4 长方体和正方体的体积

推导：用体积为 $1{\mathrm{cm}}^3$ 的小正方体摆长方体，总个数 = 每行个数 × 行数 × 层数，即长 × 宽 × 高。

$V_{长}=abh{V}_{正}=a^3$

统一公式：$V=Sh$（底面积 × 高），长方体、正方体都适用。

3.5 体积单位间的进率

• $1{\mathrm{dm}}^3=1000{\mathrm{cm}}^3$
• $1{\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{dm}}^3$

注意：相邻体积单位间的进率是 1000，不要与长度（10）、面积（100）混淆。

3.6 容积和容积单位

容积：容器所能容纳物体的体积，从容器的内部测量。

单位：升（L）、毫升（mL）。$1\mathrm{L}=1{\mathrm{dm}}^3$，$1\mathrm{mL}=1{\mathrm{cm}}^3$，$1\mathrm{L}=1000\mathrm{mL}$。

区别：体积从外部量，容积从内部量；计算方法相同。

3.7 不规则物体的体积

排水法：不规则物体的体积 = 它排开的水的体积。

$V_{物}=V_{放入后}-V_{放入前}$

思想：转化——把不规则物体的体积转化为规则的水的体积来测量。

本章的三条主线结论

1. 结构特征要记牢：长方体、正方体都有 6 面、12 棱、8 顶点，正方体是特殊的长方体。
2. 表面积与体积公式要分清：表面积是 6 个面面积之和（用平方单位），体积是长宽高相乘（用立方单位）。
3. 体积与容积要区分：体积从外量、容积从内量；不规则物体用排水法转化为水的体积。

最易错：表面积与体积公式混淆；体积单位进率误记成 100；求容积时从外部测量。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 长方体有几个面、几条棱、几个顶点？——6 个面、12 条棱、8 个顶点。
2. 长方体长 3、宽 2、高 1，表面积是多少？——$2(3\times 2+3\times 1+2\times 1)=22$。
3. 正方体棱长为 2，体积是多少？——$2^3=8$。
4. $1{\mathrm{m}}^3$ 等于多少 ${\mathrm{dm}}^3$？——1000。
5. $1\mathrm{L}$ 等于多少 ${\mathrm{dm}}^3$？——1。
6. 量杯中原有水 200 mL，放入石块后水面升到 350 mL，石块体积是多少？——$350-200=150{\mathrm{cm}}^3$。

第 1 题出错说明结构特征不熟；第 2 题出错说明表面积公式不熟；第 3 题出错说明体积公式不熟；第 4、5 题出错说明单位进率不熟；第 6 题出错说明排水法不熟。

学完本章之后

长方体和正方体是立体几何的核心：

• 六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》：圆柱体积 $V=Sh$ 与本章统一公式一脉相承。
• 初中《几何图形初步》：空间图形的表面积、体积计算。
• 物理《密度》：$\rho =\frac{m}{V}$，体积测量是基础。
• 生活应用：包装用料、容器容量、仓储空间都要算表面积和体积。

一句口诀收尾：长方体，六面十二棱八顶点；表面积，六个面的和；体积是，长宽高相乘；容积要从里面量；相邻体积单位间，进率一千记心间；不规则物用排水，转化思想显神通。