正方形的性质与判定

定义

正方形：四条边都相等、四个角都是直角的四边形。它既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形。

用集合的话说：正方形 $\subset$ 矩形 $\cap$ 菱形 $\subset$ 平行四边形 $\subset$ 四边形。它处在特殊平行四边形链条的顶端，因而兼具前面所有图形的性质。

推导（性质）

正方形同时继承矩形与菱形的全部性质：

来自矩形的性质：

• 四个角都是直角；
• 对角线相等：$AC=BD$；
• 对角线互相平分。

来自菱形的性质：

• 四条边都相等；
• 对角线互相垂直：$AC\perp BD$；
• 每条对角线平分一组对角。

合起来：正方形的对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。$■$

对角线与边的夹角：对角线平分直角，故与每条边的夹角为 $45^{\circ }$；对角线与两条边构成等腰直角三角形，由勾股定理：

$d^2=a^2+a^2=2a^2⟹d=a\sqrt{2}■$

反过来，已知对角线求边长：$a=\frac{d}{\sqrt{2}}$，面积 $S=a^2=\frac{d^2}{2}$。在「边长」与「对角线」之间换算时就用这两个式子，不必再从头列勾股定理。

对称性：正方形有 $4$ 条对称轴（两条对边中点的连线、两条对角线所在直线），并且绕中心旋转 $90^{\circ }$ 后与自身重合。它是三种特殊平行四边形中对称性最高的。

判定（两条常用路径）：

1. 矩形 + 一组邻边相等：矩形 $ABCD$ 中 $AB=BC$。矩形四角已是直角，再加四边相等（矩形对边相等，一组邻边相等推出四边等），故是正方形。
2. 菱形 + 一个直角：菱形 $ABCD$ 中 $\angle A=90^{\circ }$。菱形四边已相等，且由平行四边形邻角互补、对角相等，四角都为 $90^{\circ }$，故是正方形。

等价判定：对角线互相垂直的矩形（垂直补上菱形条件）、对角线相等的菱形（相等补上矩形条件）也是正方形。$■$

判定的通用顺序是：先证它是平行四边形，再证它是矩形或菱形，最后补上另一个条件。只证一个直角、或只证一组邻边相等都不够，两者缺一不可——这是正方形判定里最常见的失误。

典例精析

正方形 $ABCD$ 边长为 $4$，$E$ 为 $BC$ 中点，求 $AE$ 的长。

$AB=4$、$BE=2$，$\angle B=90^{\circ }$，在 Rt$△ABE$ 中：

$AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$

再练一道：正方形对角线长为 $6\sqrt{2}$，求边长与面积。

由 $d=a\sqrt{2}$ 得 $a=6$，故面积 $S=a^2=36$。用对角线算也一样：$S=\frac{d^2}{2}=\frac{72}{2}=36$，两法一致。

对比

性质	平行四边形	矩形	菱形	正方形
四边相等	否	否	是	是
四角直角	否	是	否	是
对角线相等	否	是	否	是
对角线垂直	否	否	是	是
对称轴	0	2	2	4

与其他知识的联系

正方形兼具矩形与菱形的全部性质，所以涉及它的题目往往不止一种解法——既可以用矩形的「对角线相等」，也可以用菱形的「对角线垂直」，选哪条取决于已知条件。

它与勾股定理的联系最紧密：对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，边长与对角线之比固定为 $1:\sqrt{2}$。往后正方形在坐标系与函数题里大量出现（面积最值、动点问题），靠的就是这个固定比例。