人教A版必修第二册第九章《统计》教材同步学习指南

定义

统计学是通过收集数据、分析数据来认识未知现象的科学。本章从初中的「数据描述」升级为「统计推断」：研究如何用样本（从总体中抽取的一部分）估计总体（研究对象的全体）的分布与特征。9.1 解决「怎么抽」——随机抽样保证样本代表性；9.2 解决「怎么估」——用样本的频率分布、百分位数、集中趋势（均值、中位数、众数）、离散程度（方差、标准差）推断总体。

核心思想是随机性与代表性：随机抽样让每个个体被抽中的概率相等，避免人为偏差；用样本估计总体时，样本量越大、抽样越随机，估计越可靠。

学习顺序

小节	核心任务	关键产出
9.1.1 简单随机抽样	基本抽样方法	抽签法、随机数表法；适用条件
9.1.2 分层随机抽样	差异总体的抽样	分层原则；各层样本量按比例分配
9.1.3 获取数据的途径	数据来源	调查、试验、观察、查询
9.2.1 总体取值规律的估计	频率分布	频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图
9.2.2 总体百分位数的估计	位置度量	第 $p$ 百分位数定义与计算
9.2.3 总体集中趋势的估计	中心位置	平均数、中位数、众数；适用场景
9.2.4 总体离散程度的估计	波动程度	极差、方差、标准差；意义与计算

9.1 随机抽样

简单随机抽样：从 $N$ 个个体中逐个不放回地抽取 $n$ 个，每个个体被抽中的概率都是 $\frac{n}{N}$。方法有抽签法（搅拌均匀后抽取）与随机数表法（按规则读取随机数）。适用于总体差异小、个体数不多的情形。

分层随机抽样：把总体分成互不交叉的层（如按性别、年龄段），各层按比例分配样本量（$\frac{\text{该层个体数}}{\text{总体个体数}}\times \text{样本量}$），层内再简单随机抽样。适用于总体由差异明显的几部分组成，能提高样本代表性。

获取数据的途径：调查（问卷、访谈）、试验（控制变量）、观察（自然记录）、查询（已有数据库）。

9.1.2 分层抽样计算示例

例：某校高一 600 人、高二 500 人、高三 400 人，用分层抽样抽取 150 人，各年级应抽多少人？

各层比例：高一 $\frac{600}{1500}=\frac{2}{5}$，高二 $\frac{500}{1500}=\frac{1}{3}$，高三 $\frac{400}{1500}=\frac{4}{15}$。

各层样本量：高一 $\frac{2}{5}\times 150=60$ 人，高二 $\frac{1}{3}\times 150=50$ 人，高三 $\frac{4}{15}\times 150=40$ 人。

检验：$60+50+40=150$ ✓。层内再用简单随机抽样（如随机数表）抽具体个体。

变式：若改为抽 100 人，高一应抽 $\frac{2}{5}\times 100=40$ 人。注意比例不变，样本量等比缩放。

9.2 用样本估计总体

总体取值规律的估计：用样本的频率分布估计总体分布。频率分布表列出各组频数与频率；频率分布直方图以组距为横轴、频率/组距（频率密度）为纵轴画矩形，矩形面积=频率，所有面积之和为 1。频率分布折线图连接各矩形上边中点。

总体百分位数的估计：第 $p$ 百分位数是使得至少有 $p\%$ 的数据小于等于它、且至少有 $(100-p)\%$ 的数据大于等于它的值。计算步骤：排序 → 计算 $i=n\times p\%$ → 若 $i$ 非整数，取第 $\lceil i\rceil$ 个数；若 $i$ 为整数，取第 $i$ 与第 $i+1$ 个数的平均值。中位数是第 50 百分位数。

总体集中趋势的估计：平均数 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$ 反映平均水平，但易受极端值影响；中位数是排序后中间位置的数，抗干扰强；众数是出现次数最多的数，适用于分类数据。三者结合使用。

总体离散程度的估计：极差=最大值-最小值；方差 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 或 $\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$；标准差 $s=\sqrt{s^2}$。方差越大，数据波动越大。标准差与原数据单位一致，更常用。

方差两个公式的对比：

公式	形式	适用场景
定义式	$s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$	理解意义：各数据与均值偏差平方的平均
简化式	$s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$	手算或编程：先算平方和与均值，再代入

两式等价，由 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\sum x_i^2-2\bar{x}\sum x_i+n{\bar{x}}^2=\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2$ 展开即得。考试给数据求方差时，简化式通常更快。

频率分布直方图读图示例：

某样本频率分布直方图如下（组距均为 10）：

分组	频率/组距
$[40,50)$	0.010
$[50,60)$	0.020
$[60,70)$	0.035
$[70,80)$	0.025
$[80,90]$	0.010

读图要点：① 纵轴是频率密度，频率=高×组距；② 各组频率：0.1、0.2、0.35、0.25、0.1，和为 1 ✓；③ 众数组是 $[60,70)$；④ 中位数在频率累计达 0.5 处，即 $[60,70)$ 内；⑤ 平均数估计为各组中点值加权：$45\times 0.1+55\times 0.2+65\times 0.35+75\times 0.25+85\times 0.1=65.5$。

本章的三条主线结论

1. 随机抽样保代表性：简单随机抽样适用于均匀总体，分层抽样适用于差异总体，核心是「随机」与「按比例」。
2. 样本估计总体：用样本的频率分布、百分位数、集中趋势、离散程度推断总体特征，样本量越大越可靠。
3. 集中趋势与离散程度结合：平均数看水平，方差看稳定，两者结合才能全面描述数据。

最易错：分层抽样各层比例算错、频率分布直方图纵轴误为频率、百分位数计算不排序或插值错误、方差与标准差单位混淆。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 总体 1200 人，男 500 女 700，抽 120 人分层抽样，男女各抽多少？——男 $\frac{500}{1200}\times 120=50$，女 70。
2. 数据 2,4,6,8,10 的平均数、中位数、众数、方差、标准差。——平均数 6，中位数 6，众数无，方差 $s^2=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$，标准差 $2\sqrt{2}$。
3. 某样本频率分布直方图中，组距为 5 的一组矩形高为 0.04，该组频率是多少？——$0.04\times 5=0.2$。
4. 求数据 1,3,5,7,9,11,13,15 的第 75 百分位数。——$8\times 75\%=6$，取第 6 与第 7 个数平均值 $\frac{11+13}{2}=12$。
5. 判断：方差越大，数据越集中。——错，方差越大波动越大、越分散。
6. 某班 50 人，平均分 80，去掉一个 100 分后，剩余 49 人的平均分是多少？——总分 $50\times 80=4000$，去掉 100 后 $3900$，平均分 $\frac{3900}{49}\approx 79.6$。

第 1、6 题出错说明比例与平均数计算不熟；第 3 题出错说明频率密度概念不清；第 4 题出错说明百分位数定义未掌握。

7.（综合）某频率分布直方图组距为 10，各组频率/组距依次为 0.01、0.02、0.035、0.025、0.01，求众数组、中位数所在区间、平均数估计值。——众数组 $[60,70)$；中位数在 $[60,70)$（前两组累计频率 0.3，累计到本组为 0.65，0.5 落在本组）；平均数估计 $45\times 0.1+55\times 0.2+65\times 0.35+75\times 0.25+85\times 0.1=65.5$。

第 7 题出错说明频率分布直方图的读图方法（面积=频率、中点值加权）没掌握。

学完本章之后

• 选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》：回归分析（线性回归方程、相关系数）与独立性检验（卡方检验），用统计方法研究变量间关系。
• 高考：统计小题（抽样方法、频率分布、百分位数、均值方差）与大题（统计案例综合）是稳定考点。
• 实际应用：市场调研、医学统计、质量控制、社会科学研究都依赖抽样调查与数据分析。

一句口诀收尾：抽样要随机，分层按比例；直方图看面积，百分位先排序；均值看水平，方差看稳定；样本估总体，量大才可靠。