全等三角形的判定

定义

能够完全重合的两个三角形全等。判定两个三角形全等的五个方法：

方法	条件	适用
SSS	三边对应相等	任意三角形
SAS	两边及其夹角对应相等	任意三角形
ASA	两角及其夹边对应相等	任意三角形
AAS	两角及其中一角的对边对应相等	任意三角形
HL	斜边和一条直角边对应相等	仅直角三角形

推导

SSS 的依据——三角形的稳定性：固定三条边的长度后，无法改变任何一个角而不改变边长（四边形可以推拉变形，三角形不能）。三边确定，三角形的形状与大小唯一确定，故三边对应相等的两个三角形完全重合。这是基本事实，由尺规作图验证：给定三边只能作出唯一（不计位置）的三角形。

SAS（基本事实）：两边及其夹角确定后，第三边的两个端点位置都被钉死，第三边长度随之唯一（也可由余弦思想理解），三角形唯一确定。尺规作图：先画夹角，再在两边上截固定长度，连接端点只有一种连法。

ASA（基本事实）：夹边固定，两端的角各固定一边的方向，两条射线的交点唯一，故三角形唯一。

AAS 化归为 ASA：已知两角 $\angle A=\angle A^{\prime }$、$\angle B=\angle B^{\prime }$，由三角形内角和：

$\angle C=180°-\angle A-\angle B=180°-\angle A^{\prime }-\angle B^{\prime }=\angle C^{\prime }$

于是三个角对应相等，已知边无论作为哪个角的夹边，都能归入 ASA。$■$

HL 化归为 SSS：Rt$△ABC$ 与 Rt$△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 中，斜边 $c=c^{\prime }$，直角边 $a=a^{\prime }$。由勾股定理，另一直角边：

$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{c^{\prime 2}-a^{\prime 2}}=b^{\prime }$

三边对应相等，由 SSS 两三角形全等。$■$

SSA 为什么不行（反例）：固定两边 $a、b$ 和 $a$ 的对角 $A$（非夹角）。先画角 $A$，在一边上截 $AC=b$；以 $C$ 为圆心、$a$ 为半径画弧，与角的另一边可能有两个交点（离 $A$ 较近的交点构成钝角三角形，较远的构成锐角三角形），两个三角形有两边及其中一边的对角对应相等，却不全等。当 $\angle A\ge 90°$（直角情形就是 HL）时，不会出现这种两个交点的情况。

典例精析

如图，$AB=AC$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，求证 $△ABD\cong △ACD$。

在 $△ABD$ 与 $△ACD$ 中：

$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle BAD=\angle CAD\\ AD=AD(\text{公共边})\end{array}$

由 SAS 得 $△ABD\cong △ACD$。（这正是等腰三角形三线合一的证明基础。）

对比

条件组合	能否判定全等	说明
SSS / SAS / ASA / AAS	能	四大基本方法
HL	能	仅限直角三角形，本质 SSS
SSA	不能	两交点反例
AAA	不能	只能判定相似