三角形的高、中线与角平分线

推导

中线等分面积：设 $AD$ 为 $BC$ 边上的中线，则 $BD=DC$。$△ABD$ 与 $△ACD$ 的底边 $BD、DC$ 在同一直线 $BC$ 上，两底边对应的高都是点 $A$ 到直线 $BC$ 的垂线段，高相等。由 $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}$：

$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot h=\frac{1}{2}DC\cdot h=S_{△ACD}$

故三角形的一条中线把它分成面积相等的两个三角形。$■$

三条高的位置（按三角形类型）：

• 锐角三角形：三条高都在内部，垂心在内部；
• 直角三角形：两条直角边上的高分别就是另一条直角边，三条高所在直线交于直角顶点；
• 钝角三角形：夹钝角两边上的高在外部（垂足在边的延长线上），垂心在外部。

这是因为高要求「顶点到对边所在直线的垂线段」——垂足允许落在边的延长线上，线段本身的一部分或全部可能位于三角形外。$■$

重心的比例：三条中线交于重心，重心把每条中线分成顶点到重心、重心到对边中点两段，长度比为 $2:1$（详见三角形重心定理）。

内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等，是内切圆的圆心（由角平分线的性质保证）。

典例精析

在 $△ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$S_{△ABC}=24$，$AE$ 是 $BC$ 边上的高且 $AE=6$，求 $BC$ 与 $S_{△ABD}$。

由 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE$：

$24=\frac{1}{2}BC\times 6⟹BC=8$

中线等分面积，故 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=12$。

对比