三角形中位线定理

定义

中位线定理：三角形的中位线（连接两边中点的线段）平行于第三边，且等于第三边的一半。

$△ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 中点，$E$ 为 $AC$ 中点，则

$DE\parallel BC,DE=\frac{1}{2}BC$

推导

方法：倍长中位线构造平行四边形

延长 $DE$ 到 $F$，使 $EF=DE$，连 $FC$。

在 $△ADE$ 与 $△CFE$ 中：

$\{\begin{array}{l}AE=CE\\ \angle AED=\angle CEF\\ DE=FE\end{array}$

其中 $AE=CE$ 来自 $E$ 为中点，$\angle AED=\angle CEF$ 是对顶角，$DE=FE$ 是我们自己构造的。故 $△ADE\cong △CFE$（SAS）。

得 $AD=FC$、$\angle ADE=\angle F$。又 $AD=DB$，故 $FC=DB$；由 $\angle ADE=\angle F$ 得 $AB\parallel FC$。

于是 $DB\underline{\parallel }FC$（平行且相等），由判定 3，四边形 $DBCF$ 是平行四边形。

故 $DF\parallel BC$ 且 $DF=BC$；而 $DF=2DE$，所以

$DE\parallel BC,DE=\frac{1}{2}BC■$

另一种思路：取 $BC$ 中点 $G$，连 $AG$，两次应用「平行线等分线段」或全等，同样可推出结论。

两种证法的共同动作是构造平行四边形：把中位线延长一倍，把一个三角形补成平行四边形，于是「平行」与「等于第三边」两条结论同时到手。

三条中位线把三角形分成什么

三条中位线把原三角形分成 $4$ 个小三角形，它们彼此全等，且都与原三角形相似，相似比为 $1:2$。由此得到两条常用结论：

• 每个小三角形的周长是原三角形的 $\frac{1}{2}$
• 每个小三角形的面积是原三角形的 $\frac{1}{4}$

注意周长用的是边长比 $\frac{1}{2}$，面积用的是边长比的平方 $\frac{1}{4}$。到相似三角形那一章，这条会被正式总结成定理。

逆命题也成立

过三角形一边的中点作另一边的平行线，必经过第三边的中点。

这条逆命题常用来证明某个点是中点：题里同时出现「中点」与「平行」，第一步就该想到中位线定理或它的逆命题。

中点四边形

顺次连接任意四边形四条边的中点，所得四边形一定是平行四边形（称为中点四边形）。理由是：连接原四边形的一条对角线后，由中位线定理，新四边形的一组对边都平行于这条对角线且等于它的一半，故这组对边平行且相等。

原四边形的对角线决定了中点四边形的形状：

原四边形对角线的关系	中点四边形
任意	平行四边形
互相垂直（如菱形）	矩形
相等（如矩形）	菱形
垂直且相等（如正方形）	正方形

典例精析

$△ABC$ 三边长 $AB=6$、$BC=8$、$CA=10$，求三条中位线围成的小三角形周长。

三条中位线长分别为第三边的一半：$3$、$4$、$5$。

周长为 $3+4+5=12$，恰为原三角形周长的一半。

再练一道：已知 $△ABC$ 中，$D$、$E$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，若 $DE=5$，求 $BC$ 的长，并说明 $DE$ 与 $BC$ 的位置关系。

由中位线定理，$DE\parallel BC$ 且 $DE=\frac{1}{2}BC$，故 $BC=2DE=10$，且 $DE\parallel BC$。

对比

	三角形中位线	梯形中位线
连接	两边中点	两腰中点
位置	平行于第三边	平行于两底
长度	第三边的一半	上下底之和的一半
证明	倍长中位线 + 平行四边形	化归为三角形中位线

注：2024 审定版教材已不单独讲梯形与梯形中位线，表中梯形一栏仅作拓展了解。

与其他知识的联系

中位线定理是平行四边形性质的直接应用，也是相似三角形的预演——它的两条结论（平行、长度减半）本质上就是相似比为 $1:2$ 的相似关系。

往后，中点四边形的处理要化归到本页这条定理（梯形中位线在 2024 版教材中已删去，仅作拓展）；到了相似三角形，「平行于一边的直线截得的线段成比例」会成为它的一般形式。