平行四边形的性质与判定

推导

性质：对边相等、对角相等。连对角线 $AC$。

$\{\begin{array}{l}AB\parallel CD⟹\angle BAC=\angle ACD\\ AD\parallel BC⟹\angle DAC=\angle BCA\\ AC=AC\end{array}$

$\therefore △ABC\cong △CDA$（ASA）。故 $AB=CD$、$AD=BC$、$\angle B=\angle D$；由邻角互补得 $\angle BAD=\angle BCD$。$■$

性质：对角线互相平分。设对角线 $AC、BD$ 交于 $O$。由 $AB\parallel CD$ 得 $\angle OAB=\angle OCD$、$\angle OBA=\angle ODC$（内错角），又 $AB=CD$，故 $△AOB\cong △COD$（ASA），得 $OA=OC$、$OB=OD$。$■$

判定 2（两组对边分别相等）：$AB=CD$、$AD=BC$，连 $AC$，由 SSS 得 $△ABC\cong △CDA$，故 $\angle BAC=\angle ACD$，即 $AB\parallel CD$；同理 $AD\parallel BC$。$■$

判定 3（一组对边平行且相等）：$AB\parallel CD$ 且 $AB=CD$，连 $AC$，由 SAS 得 $△ABC\cong △CDA$，故 $AD=BC$ 且 $AD\parallel BC$，回到判定 1。$■$

判定 5（对角线互相平分）：$OA=OC$、$OB=OD$，由对顶角相等 + SAS 得 $△AOB\cong △COD$，推出 $AB=CD$、$AB\parallel CD$，回到判定 3。$■$

典例精析

平行四边形 $ABCD$ 的对角线交于 $O$，周长为 $40$，$△AOB$ 与 $△BOC$ 的周长差为 $6$，求两邻边。

由 $OA=OC$，两三角形周长差即 $AB-BC=6$。又 $AB+BC=20$。

解得 $AB=13$，$BC=7$（或互换）。

对比