比与除法、分数的关系

比的基本性质

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。

$a:b=(a\times n):(b\times n)=(a÷n):(b÷n)(n\ne 0)$

这与分数的基本性质、除法里商不变的规律是同一件事的三种说法——可以放在一起讲，学生一次记三组，反而不会混。

化简比 vs 求比值：最容易写错形式

这是本章最高频的失分点，错因不是不会算，而是结果写错了形式。

判断方法很简单：看题目怎么说。 题目要求”化简下面各比”就写成 $2:3$；要求”求比值”就写成 $\frac{2}{3}$。

考场上的自检口诀：化简比有冒号，求比值没有冒号。

典例精析

例 1 化简 $12:18$。

前后项同除以最大公因数 6：$12:18=2:3$。

例 2 求 $12:18$ 的比值。

$12÷18=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。

同一组数，两种问法，两种写法。 建议把这两道并排写在黑板上，这是讲清区别最有效的方式。

例 3 化简 $0.5\text{ kg}:200\text{ g}$。

先统一单位：$0.5\text{ kg}=500\text{ g}$，所以 $500:200=5:2$。

例 4 化简 $\frac{3}{4}:\frac{2}{5}$。

可以前后项同乘分母的最小公倍数 20：$(\frac{3}{4}\times 20):(\frac{2}{5}\times 20)=15:8$。

也可以直接用比值：$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{15}{8}$，再写成 $15:8$。

课堂上的真实错法

错法一：结果形式写反。 求比值写成 $2:3$，化简比写成 $\frac{2}{3}$。用”有冒号没冒号”的自检口诀纠正。

错法二：单位不同直接约。 $0.5\text{ kg}:200\text{ g}$ 直接算成 $0.5:200$。规定：带单位的比，第一步永远是统一单位。

错法三：只约一边。 $12:18$ 化成 $6:18$ 或 $12:6$ 就停手。提醒：化简要化到互质为止。

错法四：拿比赛比分当比。 说”2:0 的后项是 0”。可以借此讲清：数学的比表示倍数关系，后项不能为 0；球赛比分只是记分记号，含义完全不同。

给家长的讲法

孩子这一章的错误，九成是”写错形式”而不是”算错”。所以辅导时重点检查一件事：题目要求的是比还是数。

可以让他做完题后自己念一遍答案：“2 比 3”就写 $2:3$，“三分之二”就写 $\frac{2}{3}$——念出来的和写出来的对得上，就不会错。

至于”比、除法、分数是一家”这个关系，用一张三行对照表贴在书桌前，比反复讲解有用得多。