平移的性质

定义

平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离。平移由方向和距离两个要素确定。

推导（性质）

设点 $A$、$B$ 平移后的对应点为 $A^{\prime }$、$B^{\prime }$，平移方向固定、距离同为 $d$。

性质 1：对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。由定义，所有点沿同一方向移动同一距离 $d$，故线段 $A{A}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 方向相同、长度都为 $d$：

$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime },A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=d$

性质 2：对应线段平行且相等，对应角相等。由 $A{A}^{\prime }\underline{\parallel }B{B}^{\prime }$（平行且相等），四边形 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 是平行四边形（一组对边平行且相等）。由平行四边形的性质：

$AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime },AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$

对图形中任意线段同理，故整体形状大小不变；对应角由平行关系（同位角）保持相等。$■$

性质 3（推论）：平移前后的两个图形全等。全等的含义是形状、大小都不变，因此对应边相等、对应角相等、周长与面积都不变。

性质 4（朝向不变）：平移不翻转、不转动图形。$△ABC$ 沿顺时针方向标注的三个顶点，平移后 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 仍是顺时针。这一点是与轴对称的根本区别——轴对称会把左右翻转过来。

坐标系中的平移规律

设平移向量为「向右 $a$ 个单位、向上 $b$ 个单位」，其中 $a$、$b$ 可以为负（负值表示向左、向下），则

$(x,y)\to (x+a,y+b)$

记忆口诀是「右加左减，上加下减」：横坐标管左右，纵坐标管上下。要注意的是加给谁——变化的是新坐标，$x^{\prime }=x+a$，不要写反成 $x=x^{\prime }+a$。

平移距离就是对应点连线的长度：

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

例如向右 $3$、向下 $4$，平移距离为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$。

怎么画平移后的图形

1. 找出原图形的关键点（多边形的顶点、圆的圆心）
2. 过每个关键点按给定方向作长为 $d$ 的线段，得到对应点
3. 按原来的连接顺序连接对应点

作对应点时不必逐个量角：先画出其中一个对应点（如 $A^{\prime }$），再过其余关键点作 $A{A}^{\prime }$ 的平行线并截取相等长度即可，这正是「对应点连线平行且相等」的应用。

典例精析

$△ABC$ 顶点坐标 $A(1,2)$、$B(4,2)$、$C(2,5)$，先向左平移 $3$ 个单位、再向下平移 $4$ 个单位，求 $A^{\prime }$ 坐标。

平移规则 $(x,y)\to (x-3,y-4)$：

$A(1,2)\to A^{\prime }(-2,-2)$

平移距离为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，方向是左下方。

反过来用一次：已知 $A(1,2)$ 平移后落在 $A^{\prime }(4,-1)$，而 $B(-2,3)$，求 $B^{\prime }$。

由 $A$ 到 $A^{\prime }$，横坐标加 $3$、纵坐标减 $3$，故平移规则为 $(x,y)\to (x+3,y-3)$，于是

$B(-2,3)\to B^{\prime }(1,0)$

这类题的做法是先由一对对应点求出平移量，再把同一个平移量用到其余点上——因为平移对每一点都是同一个方向、同一个距离。

对比

变换	决定要素	对应点关系	朝向
平移	方向 + 距离	连线平行且相等	不变
轴对称	对称轴	连线被轴垂直平分	翻转
旋转	中心 + 方向 + 角度	到中心等距	转动