相交线与垂线

推导

邻补角互补

设直线 $AB$ 是一条直线（平角 $180°$），射线 $OC$ 在直线 $AB$ 同侧与 $AB$ 交于 $O$，则 $\angle AOC$ 与 $\angle COB$ 有公共边 $OC$，另一边 $OA$、$OB$ 互为反向延长线，故

$\angle AOC+\angle COB=\angle AOB=180°$

即邻补角互补。$■$

注意互补是邻补角的数量结论，不是定义；判断两个角是否互为邻补角，先看位置（公共顶点、一条公共边、另两边反向共线）。

垂线的两条基本事实

1. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。点可以在直线上，也可以在直线外。
2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称垂线段最短）。

由第 2 条定义点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。它是一个带长度单位的数量，不是图形。

垂线与垂线段的画法

用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，步骤是「一靠、二过、三画」：让三角尺的一条直角边靠紧已知直线，平移三角尺使另一条直角边经过已知点，沿该直角边画出垂线。

直线外一点与直线之间有三种线段要分清：

所有斜线段都比垂线段长，这是「垂线段最短」的直接表述。

典例精析

直线 $AB$、$CD$ 相交于点 $O$，$OE\perp AB$，垂足为 $O$，若 $\angle COE=40°$，求 $\angle BOD$。

由 $OE\perp AB$ 得 $\angle AOE=90°$。又 $\angle AOC+\angle COE=\angle AOE$，故 $\angle AOC=90°-40°=50°$。$\angle BOD$ 与 $\angle AOC$ 是对顶角，因此 $\angle BOD=\angle AOC=50°$。

再练一道概念题：点 $P$ 在直线 $l$ 外，$PO\perp l$ 于 $O$，点 $Q$ 是 $l$ 上异于 $O$ 的点，比较 $PO$ 与 $PQ$ 的长短。

由垂线段最短，$PO$ 是垂线段、$PQ$ 是斜线段，故 $PO<PQ$。

与其他知识的联系

相交线是平面几何位置关系的第一组研究对象：对顶角相等、邻补角互补是平行线性质证明的工具；垂线段最短是三角形高、点到直线距离公式（八下、高中解析几何）的依据；垂直关系在坐标系中表现为两条坐标轴，在九上《圆》中表现为切线与过切点的半径。

把「距离是长度不是线段」这一条记牢，后面学习两点间距离、点到直线距离、平行线间距离时就不会在概念上出错。