多边形的面积公式

定义

图形	面积公式	字母含义
矩形	$S=ab$	邻边长 $a、b$
平行四边形	$S=ah$	底 $a$，该底上的高 $h$
三角形	$S=\frac{1}{2}ah$	底 $a$，该底上的高 $h$
梯形	$S=\frac{1}{2}(a+b)h$	两底 $a、b$，高 $h$

推导

公式链以矩形面积为源头，靠割补法（平移、旋转，面积守恒）和倍拼法（两个全等图形拼合）逐级推出。

平行四边形：沿一条高把左边的直角三角形剪下，平移到右边恰好拼成一个矩形。矩形的长等于原平行四边形的底 $a$，宽等于高 $h$，面积守恒：

$S_{\text{平行四边形}}=S_{\text{矩形}}=ah$

这也解释了为什么不能用邻边相乘——倾斜后矩形的宽是高而非邻边。$■$

三角形：取两个全等的三角形，将其中一个翻转后与另一个拼接，等底的两边对齐，得到一个平行四边形：底仍为 $a$，高仍为 $h$。平行四边形面积是两个三角形之和：

$2S_{\text{三角形}}=ah⟹S_{\text{三角形}}=\frac{1}{2}ah$

推论：等底等高的三角形面积相等。$■$

梯形：取两个全等的梯形，将其中一个旋转 $180°$，把等长的腰拼在一起，得到一个平行四边形。它的底等于梯形两底之和 $a+b$，高仍为 $h$：

$2S_{\text{梯形}}=(a+b)h⟹S_{\text{梯形}}=\frac{(a+b)h}{2}$

也可连接梯形一条对角线，分成两个三角形验证：$\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(a+b)h$。引入中位线 $m=\frac{a+b}{2}$ 后简写为 $S=mh$。$■$

特殊化检验：梯形上底 $b=0$ 时退化为三角形，公式给出 $\frac{1}{2}ah$；$a=b$ 时退化为平行四边形，公式给出 $ah$。公式链自洽。

典例精析

梯形 $ABCD$ 中 $AB\parallel CD$，$AB=8$、$CD=4$，两底距离为 5，求面积；若对角线交于 $O$，比较 $△ABC$ 与 $△ABD$ 的面积。

梯形面积：$S=\frac{1}{2}(8+4)\times 5=30$。

$△ABC$ 与 $△ABD$ 共底边 $AB$，顶点 $C、D$ 在平行于 $AB$ 的直线 $CD$ 上，故两三角形等高，$S_{△ABC}=S_{△ABD}$（同底等高）。

对比

图形	公式	推导方法	退化关系
矩形	$ab$	面积源头	—
平行四边形	$ah$	割补成长方形	—
三角形	$\frac{1}{2}ah$	两个拼成平行四边形	梯形上底为 0
梯形	$\frac{1}{2}(a+b)h$	两个拼成平行四边形	两底相等即平行四边形