轴对称的性质

定义

把一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线（对称轴）对称，也称轴对称。折叠后重合的点叫对称点。

两个容易混的说法

• 轴对称：指两个图形之间的关系——把一个图形沿某直线折叠，能与另一个图形重合
• 轴对称图形：指一个图形自身——沿某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合

性质完全一样，区别只在对象是两个还是一个。所以「平行四边形是轴对称图形」是错的（一般平行四边形没有对称轴），但「两个平行四边形关于某直线对称」则有可能成立。

另外，对称轴是一条直线，不是线段也不是射线。

怎么找对称轴

找两对对应点，分别作它们连线的垂直平分线，两条垂直平分线重合的那条就是对称轴。依据正是下面的性质 2——对应点的连线被对称轴垂直平分。

坐标系中的对称

对称方式	坐标变化
关于 $x$ 轴对称	横坐标不变，纵坐标变号：$(x,y)\to (x,-y)$
关于 $y$ 轴对称	纵坐标不变，横坐标变号：$(x,y)\to (-x,y)$
关于原点对称	横、纵坐标都变号：$(x,y)\to (-x,-y)$

推导（性质）

性质 1：关于某直线对称的两个图形全等。折叠是刚体运动，折叠过程中图形的形状、大小不变，重合即全等。$■$

性质 2：对应点的连线被对称轴垂直平分。设 $A$ 与 $A^{\prime }$ 关于直线 $l$ 对称，折叠后 $A$ 与 $A^{\prime }$ 重合。设 $A{A}^{\prime }$ 交 $l$ 于 $P$。

折叠使射线 $PA$ 与射线 $P{A}^{\prime }$ 重合，故 $\angle APl$ 与 $\angle A^{\prime }Pl$ 重合且互补，各为 $90°$，即 $l\perp A{A}^{\prime }$；同时折叠后 $PA$ 与 $P{A}^{\prime }$ 重合，故 $PA=P{A}^{\prime }$，即 $P$ 是 $A{A}^{\prime }$ 中点。

合起来：$l$ 垂直平分 $A{A}^{\prime }$。$■$

性质 3：对应线段（或其延长线）若相交，交点在对称轴上。设直线 $AB$ 与 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 关于 $l$ 对称且交于 $Q$。关于 $l$ 的反射把直线 $AB$ 变为 $A^{\prime }{B}^{\prime }$、把 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 变为 $AB$，故 $Q$ 的对称点 $Q^{\prime }$ 仍是这两条直线的公共点；两条直线相交只有一个交点，所以 $Q^{\prime }=Q$，即 $Q$ 在对称轴 $l$ 上。$■$

典例精析

点 $P(3,-4)$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴的对称点分别是什么？

• 关于 $x$ 轴对称：横坐标不变，纵坐标取反，$P_1(3,4)$；
• 关于 $y$ 轴对称：纵坐标不变，横坐标取反，$P_2(-3,-4)$。

验证：$P$ 与 $P_1$ 连线是竖直线段，被 $x$ 轴垂直平分。

对比

常见图形	对称轴条数
角	1（角平分线所在直线）
等腰三角形（非等边）	1
等边三角形	3
矩形（非正方形）	2
正方形	4
圆	无数（每条直径所在直线）

补充几条常考的：线段有 $2$ 条（自身所在直线与它的垂直平分线）、等腰梯形 $1$ 条、菱形 $2$ 条、正 $n$ 边形 $n$ 条、一般平行四边形 $0$ 条。

最短路径问题（将军饮马）

轴对称最著名的应用是求折线路径的最小值：已知直线 $l$ 及 $l$ 同侧两点 $A$、$B$，在 $l$ 上找一点 $P$，使 $AP+PB$ 最小。

做法：作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{\prime }$，连接 $A^{\prime }B$，与 $l$ 的交点即为所求的 $P$。理由是 $AP=A^{\prime }P$（对称轴上的点到一对对称点的距离相等），于是

$AP+PB=A^{\prime }P+PB=A^{\prime }B$

由「两点之间线段最短」，$A^{\prime }B$ 最小，故此时 $AP+PB$ 最小。

这类题的标准三步是：作对称点 → 连线找交点 → 用勾股定理算长度。它在几何最值、二次函数最值问题里反复出现。

与其他知识的联系

轴对称是三种图形变换（平移、轴对称、旋转）之一，与前两种一样保持图形的形状和大小不变——变换前后的图形全等，这是所有对称问题都能转化为全等问题的原因。

它与另外两块内容紧密相连：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴就是顶角平分线所在直线，这正是「三线合一」的依据；线段垂直平分线的性质，则是「对应点连线被对称轴垂直平分」这一条的直接应用。