三角形内角和定理

定义

内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180^{\circ }$。

外角推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角与相邻内角互补。

这个结论与三角形的形状无关：锐角、直角、钝角三角形的内角和都是 $180^{\circ }$，与边长、张口方式都没有关系。

由它可以直接读出几条常用结论：

• 直角三角形的两个锐角互余（和为 $90^{\circ }$）
• 一个三角形至多有一个直角或一个钝角——两个直角之和已达 $180^{\circ }$，第三个角只能是 $0^{\circ }$
• 等腰三角形中，「顶角 $+2\times$ 底角 $=180^{\circ }$」是求角的标准方程

推导

已知 $△ABC$，求证 $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$。

证明：延长 $BC$ 到 $D$，过点 $C$ 作 $CE\parallel BA$。

• 由 $CE\parallel BA$，得 $\angle A=\angle ACE$（内错角相等），$\angle B=\angle ECD$（同位角相等）；
• $B$、$C$、$D$ 三点共线，$\angle BCA+\angle ACE+\angle ECD=180^{\circ }$（平角）；
• 代换得 $\angle A+\angle B+\angle BCA=180^{\circ }$。$■$

证明的关键动作是作平行线：把分散在三个顶点处的角，「搬」到同一个顶点拼成一个平角。这条思路后面还要用两次——多边形内角和与外角和都靠它。

外角推论：设 $\angle ACD$ 是外角，则

$\angle ACD=180^{\circ }-\angle ACB=\angle A+\angle B$

第一步用平角（外角与相邻内角互补），第二步用内角和定理移项。

外角定理的好处是少算一步：不必先求出第三个内角，就能直接得到两个不相邻内角之和。同时它也说明，外角一定大于任何一个与它不相邻的内角。

典例精析

在 $△ABC$ 中，$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$，求各角。

设三角为 $2x$、$3x$、$4x$，则 $2x+3x+4x=180^{\circ }$，$x=20^{\circ }$。

故 $\angle A=40^{\circ }$，$\angle B=60^{\circ }$，$\angle C=80^{\circ }$。

再练一道用外角定理的：在 $△ABC$ 中，$\angle A=50^{\circ }$、$\angle B=60^{\circ }$，求 $\angle C$ 处的外角。

由外角定理，外角等于不相邻两内角之和：$50^{\circ }+60^{\circ }=110^{\circ }$。也可以先求 $\angle C=70^{\circ }$，再由互补得 $180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$——两条路结果一致，用外角定理省掉了求 $\angle C$ 那一步。

对比

结论	内容	来源
内角和	三内角之和 $180^{\circ }$	平行线 + 平角
外角定理	外角 = 不相邻两内角和	平角 + 内角和
直角三角形	两锐角互余	内角和减去 $90^{\circ }$
外角和	三角形的外角和为 $360^{\circ }$	每个顶点处内外角互补

与其他知识的联系

内角和定理是角度计算的总依据：四边形内角和 $360^{\circ }$、$n$ 边形内角和 $(n-2)\times 180^{\circ }$ 都由它推出（连对角线分割成三角形）；等腰三角形、平行线相关的角度计算题，最后几乎都要列一个内角和方程。

再往后，三角形的外角会以「圆周角」的形式在圆这一章重新出现。而内角和本身并非天经地义——它是欧氏几何平行公理的等价命题之一，在球面几何中三角形内角和大于 $180^{\circ }$。