拉格朗日乘数法：约束下求最值的通法

常见表现形式

• 构造 $L=f-\lambda g$，偏导全部置零联立约束求解
• 等值线族与约束曲线相切处即候选最值点
• 不等式约束时先按等式约束找候选，再检查内部驻点

在哪些母题中出现

• 清华强基题：x²+y²+xy=1 求 x-y 最大值的七种解法

标准流程

从相切到平行

高中的几何解法告诉我们：最值发生在直线 $x-y=k$ 与椭圆相切处。相切意味着两条曲线的切线重合、法线平行，而梯度正是法线方向——所以「相切」翻译成大学语言就是「梯度平行」。拉格朗日乘数法不是新发明，是把高中的几何直觉写成了可机械执行的代数程序。

典例精析

例 1（基本流程） 求 $f(x,y)=x-y$ 在约束 $g(x,y)=x^2+y^2+xy-1=0$ 下的最值。

构造 $L=x-y-\lambda (x^2+y^2+xy-1)$。求偏导：$L_x=1-\lambda (2x+y)=0$、$L_y=-1-\lambda (2y+x)=0$、$L_{\lambda }=-(x^2+y^2+xy-1)=0$。前两式相加得 $-\lambda \cdot 3(x+y)=0$，分两支：$\lambda =0$（舍，与第一式 $1=0$ 矛盾）或 $x+y=0$。由 $x=-y$ 代入约束得 $y^2=1$，故驻点 $(1,-1)$、$(-1,1)$，$f$ 值分别为 $2$、$-2$，最大 $2$、最小 $-2$。

例 2（三分支讨论） 求 $f(x,y,z)=x+y+z$ 在 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的最值。

构造 $L=x+y+z-\lambda (x^2+y^2+z^2-1)$，偏导 $1-2\lambda x=0$、$1-2\lambda y=0$、$1-2\lambda z=0$ 给出 $x=y=z=\frac{1}{2\lambda }$。代入约束 $3x^2=1$ 得 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$，故最大值为 $\sqrt{3}$、最小值为 $-\sqrt{3}$。这里 $\lambda =0$ 分支与前两式矛盾，舍去。

例 3（多约束情形） 求 $f(x,y,z)=z$ 在 $x^2+y^2=1$ 与 $z=x+y$ 下的最值。

两个约束引入两个乘数 $\lambda$、$\mu$：$L=z-\lambda (x^2+y^2-1)-\mu (z-x-y)$。偏导 $1-\mu =0$（$L_z$）给出 $\mu =1$，由 $L_x=-2\lambda x+\mu =0$ 与 $L_y=-2\lambda y+\mu =0$ 得 $x=y$，再由约束 $2x^2=1$ 得 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$，$z=x+y=\pm \sqrt{2}$，故最值为 $\pm \sqrt{2}$。多约束时乘数个数等于约束个数。

辨析与提醒

• $\lambda =0$ 分支随手丢弃：$\lambda =0$ 意味着目标函数梯度为零，即目标函数自身的驻点。例 2 中 $\lambda =0$ 与 $1=0$ 矛盾故舍；但若题目改为 $f=x^2+y^2+z^2$，$\lambda =0$ 给出的就是球心处目标最小值，不可丢。每个分支必须单独判断与约束是否相容。
• 只列偏导忘约束：$n$ 元目标加 $m$ 个约束，应有 $n+m$ 个方程（$n$ 个偏导加 $m$ 个约束），缺一不可。学生常列完偏导就停笔，忘了联立约束方程，导致候选点求不全。
• 驻点当最值：乘数法只给候选点，最大最小必须把全部候选点（含边界与奇点）代回目标函数比较得出。例 1 若只算 $(1,-1)$ 就答最大值 $2$，会漏掉 $(-1,1)$ 处的最小值 $-2$。

拉格朗日乘数法的三种身份

三种身份对应三种用法：几何用来破题与核对答案合理性，代数用来执行计算，极值观点用来把握它与普通驻点法的连续性。拉格朗日乘数法之所以是「通法」，正因为它在三种视角下都能站得住脚。