二次型：用矩阵统一研究二次式

常见表现形式

• 把 $ax^2+bxy+cy^2$ 写成 $X^{T}AX$（$A$ 对称）
• 求特征值与单位特征向量，作正交变换
• 标准形 $\lambda_1u^2+\lambda_2v^2$ 直接读出曲线类型与范围

在哪些母题中出现

• 清华强基题：x²+y²+xy=1 求 x-y 最大值的七种解法

二次型处理流程

步骤	操作	本题示范
写矩阵	平方项进对角线，交叉项平分进对称位	$A=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$
求特征	解 $\det (A-\lambda I)=0$	$\lambda =\frac{3}{2},\frac{1}{2}$
正交变换	以单位特征向量为新坐标轴	$x=\frac{u+v}{\sqrt{2}}$，$y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}$
读结论	标准形给出范围	$x-y=\sqrt{2}v\le 2$

知识网络的终点站

回头看：初中的配方法、换元法，高中对椭圆等圆锥曲线的认识，原来都是二次型正交对角化的雏形。线性代数不是一门新课，而是把中小学的二次式经验一次说透——这就是知识网络织成后的感觉。

典例精析

例 1（写矩阵与求特征值） 把 $f(x,y)=x^2+y^2+xy$ 写成二次型标准形。

平方项 $x^2$、$y^2$ 的系数 $1$ 进对角线 $A_{11}=A_{22}=1$；交叉项 $xy$ 系数 $1$ 平分进对称位 $A_{12}=A_{21}=\frac{1}{2}$。故 $A=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$。由 $\det (A-\lambda I)=(1-\lambda {)}^2-\frac{1}{4}=0$ 解得 ${\lambda }_1=\frac{3}{2}$、${\lambda }_2=\frac{1}{2}$，标准形为 $\frac{3}{2}{u}^2+\frac{1}{2}{v}^2$。

例 2（正交变换求最值） 求 $x-y$ 在 $x^2+y^2+xy=1$ 下的最值。

由例 1 知正交变换后标准形为 $\frac{3}{2}{u}^2+\frac{1}{2}{v}^2=1$。求特征向量：${\lambda }_1=\frac{3}{2}$ 对应 ${\xi }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^T$，${\lambda }_2=\frac{1}{2}$ 对应 ${\xi }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1{)}^T$。故 $x=\frac{u+v}{\sqrt{2}}$、$y=\frac{u-v}{\sqrt{2}}$，$x-y=\sqrt{2}v$。由 $v^2\le \frac{1}{{\lambda }_2}=2$ 得 $|x-y|\le 2$，等号在 $u=0$、$v=\pm \sqrt{2}$ 时取到。

例 3（判别曲线类型） 判断 $f(x,y)=2x^2+4xy+5y^2$ 对应的曲线类型。

写矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$，$\det (A-\lambda I)=(2-\lambda )(5-\lambda )-4=0$，解得 ${\lambda }_1=1$、${\lambda }_2=6$，两特征值同号正，故曲线是椭圆。看特征值符号就能定类型，不必画图。

辨析与提醒

• 交叉项忘记平分：$xy$ 系数为 $1$ 时写成 $A_{12}=1$、$A_{21}=0$ 是错的——必须对称 $A_{12}=A_{21}=\frac{1}{2}$，否则矩阵不对称，特征值法完全失效，算出的「特征值」毫无意义。
• 用非正交变换对角化：随手消元得到对角矩阵看似省事，但变换不保长度，原变量的最值在新坐标下完全失真。必须用单位正交特征向量构造变换矩阵。
• 特征值求对忘翻译：标准形里 $v^2\le \frac{1}{{\lambda }_2}=2$ 给出 $|v|\le \sqrt{2}$，而目标是 $x-y=\sqrt{2}v$，要把 $v$ 的范围乘回变换系数 $\sqrt{2}$：漏乘会误得 $\sqrt{2}$，把 $v^2\le 2$ 错读成 $|v|\le 2$ 又会误得 $2\sqrt{2}$，正确答案是 $2$。

二次型与初等配方的关系

工具	做法	优势	局限
初等配方	凑完全平方，手工消交叉项	不需要矩阵知识	高维时凑法繁琐
二次型	写对称阵，求特征值，正交变换	程序固定、不挑题、可机械化	需线性代数基础
拉格朗日乘数法	列偏导方程组	不挑题、几何直观	多元时方程组难解

三种工具处理同一类问题（二次式最值与曲线分类）。初等配方靠巧，二次型靠程序，乘数法靠几何——后者都是前者的机械化或几何化升级。会用初等配方打底，再用二次型与乘数法兜底，是处理二次问题的标准组合拳。