椭圆的参数方程

推导

代入即验：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2{\cos }^2\theta }{a^2}+\frac{b^2{\sin }^2\theta }{b^2}={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

故参数坐标上的每一点都在椭圆上。反过来，对椭圆上任意一点 $P(x,y)$，在以长轴为直径的外接圆上取点 $Q(x,\frac{a}{b}y)$，由 $x^2+{\left(\frac{a}{b}y\right)}^2=a^2$ 知 $Q$ 在圆上，设其半径转角为 $\theta$，则 $x=a\cos \theta$，$\frac{a}{b}y=a\sin \theta$，即 $y=b\sin \theta$。故椭圆上每一点都能这样参数化。$■$

典例精析

例 1：在椭圆弧 $\frac{n^2}{7}+\frac{m^2}{4}=1$（第一象限部分）上求 $z=n+\frac{m}{2}$ 的最大值。

参数化 $n=\sqrt{7}\cos \theta$，$m=2\sin \theta$，$0<\theta <\frac{\pi }{2}$，则

$z=\sqrt{7}\cos \theta +\sin \theta =2\sqrt{2}\sin (\theta +\phi )\le 2\sqrt{2}$

其中 $\tan \phi =\sqrt{7}$。等号当 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{8}}$ 时取得，对应点在第一象限弧上，最大值 $2\sqrt{2}$。

例 2：求椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 上的点到直线 $x+y-8=0$ 的最小距离。

取点 $(3\cos \theta ,2\sin \theta )$，距离

$d=\frac{|3\cos \theta +2\sin \theta -8|}{\sqrt{2}}=\frac{8-\sqrt{13}\sin (\theta +\phi )}{\sqrt{2}}$

分子恒正，最小值在 $\sin (\theta +\phi )=1$ 时取得：$d_{\min }=\frac{8-\sqrt{13}}{\sqrt{2}}$。

对比