图形运动的坐标变化规律

推导

平移规律：向右平移 $a$ 个单位，点到 $y$ 轴的有向距离增加 $a$，横坐标变为 $x+a$，纵坐标不变；上下平移同理，只改变纵坐标。连续平移的坐标变化量可相加。$■$

关于 $x$ 轴对称：对称点连线被 $x$ 轴垂直平分，故两点横坐标相同、纵坐标互为相反数（中点 $\left(x,\frac{y+y^{\prime }}{2}\right)$ 在 $x$ 轴上要求 $y+y^{\prime }=0$），即 $(x,y)\to (x,-y)$。关于 $y$ 轴对称同理为 $(-x,y)$。$■$

关于原点对称：原点是对应点连线的中点，由中点坐标公式 $\frac{x+x^{\prime }}{2}=0$、$\frac{y+y^{\prime }}{2}=0$，得 $x^{\prime }=-x$、$y^{\prime }=-y$。它等于先关于 $x$ 轴、再关于 $y$ 轴两次轴对称的合成：$(x,y)\to (x,-y)\to (-x,-y)$。（中心对称及这条坐标规律将在九年级上册第二十八章《旋转》中正式学习。）$■$

关于 $y=x$ 对称：对应点连线被直线 $y=x$ 垂直平分。$P(x,y)$ 到该直线的对称点横纵坐标互换为 $(y,x)$（可用距离公式验证：两点到 $y=x$ 距离相等，且两点连线与 $y=x$ 垂直）。$■$

图形层面：图形由点组成，对所有顶点套用同一坐标规律，再按原顺序连线，即得运动后的图形。多边形平移后对应点连线平行且相等；轴对称、中心对称后图形与原图形全等。

位似（拓展）：以原点为位似中心、相似比为 $k$ 时，对应点坐标为 $(kx,ky)$（含负 $k$ 时图形位于原点异侧）。位似将在九年级下册第三十一章《相似》中学习，这里先作了解。

典例精析

$△ABC$ 顶点为 $A(1,1)$、$B(4,1)$、$C(2,3)$，求它关于 $y$ 轴对称的三角形顶点坐标，并判断两三角形的关系。

逐点把横坐标变号：$A^{\prime }(-1,1)$、$B^{\prime }(-4,1)$、$C^{\prime }(-2,3)$。轴对称是全等变换，故 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\cong △ABC$，且对应点连线 $A{A}^{\prime }$、$B{B}^{\prime }$、$C{C}^{\prime }$ 都被 $y$ 轴垂直平分。

对比