平面直角坐标系中的距离公式

定义

平面直角坐标系中，两点 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 之间的距离：

$PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

特殊情形：

• 点 $P(x,y)$ 到原点 $O(0,0)$：$OP=\sqrt{x^2+y^2}$；
• 两点在平行于 $x$ 轴的直线上（纵坐标相同）：$PQ=|x_2-x_1|$；
• 两点在平行于 $y$ 轴的直线上（横坐标相同）：$PQ=|y_2-y_1|$。

公式的记忆办法：横着差多少、竖着差多少，各自平方相加，最后开方。差的符号不影响结果（平方会抹掉它），所以谁减谁都可以，只要求的两点顺序保持一致。

推导

过 $P$ 作平行于 $x$ 轴的直线，过 $Q$ 作平行于 $y$ 轴的直线，两线交于点 $R$。则 $R$ 的坐标为 $(x_2,y_1)$：

• 水平直角边 $PR=|x_2-x_1|$；
• 竖直直角边 $QR=|y_2-y_1|$；
• $\angle PRQ=90^{\circ }$，$△PRQ$ 是直角三角形，$PQ$ 为斜边。

由勾股定理：

$P{Q}^2=P{R}^2+Q{R}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2$

距离非负，故

$PQ=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

水平或竖直情形（一条直角边长为 $0$）是上式的特例。$■$

中点坐标公式

线段 $PQ$ 的中点 $M$ 的坐标为

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$

即横、纵坐标分别取两端点对应坐标的平均值。它与距离公式常常成对出现：求中点取平均，求长度平方和开方，两者不要混用。

用坐标法做几何题

把图形放进坐标系之后，几何关系就变成了代数计算，常见的对应关系是：

几何问题	坐标做法
求线段长度	用距离公式
判断三角形形状	算出三边长，再用勾股定理逆定理或比较边长
证明线段相等	分别算出长度，比较是否相等
判断三点是否共线	算三段长度，看是否有两段之和等于第三段

例如验证 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(2,2\sqrt{3})$ 构成等边三角形：算得 $AB=4$、$AC=\sqrt{4+12}=4$、$BC=\sqrt{4+12}=4$，三边相等。

典例精析

在 $x$ 轴上求一点 $P$，使它到 $A(1,2)$、$B(5,-2)$ 的距离相等。

设 $P(x,0)$，由 $PA=PB$：

$(x-1{)}^2+4=(x-5{)}^2+4⟹(x-1{)}^2=(x-5{)}^2$

展开得 $x^2-2x+1=x^2-10x+25$，解得 $x=3$。故 $P(3,0)$（它正是线段 $AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴的交点）。

再练一道判断形状：已知 $A(1,1)$、$B(4,5)$、$C(1,5)$，判断 $△ABC$ 的形状。

由 $B$、$C$ 纵坐标相同得 $BC=3$；由 $A$、$C$ 横坐标相同得 $AC=4$；而 $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。三边为 $3$、$4$、$5$，满足 $3^2+4^2=5^2$，故 $△ABC$ 是直角三角形，直角在 $C$ 处。

这类题的做法固定：先算三边长，再用勾股定理逆定理检验，看最长边的平方是否等于另两边的平方和。

对比

情形	距离
一般两点	$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
同一水平线	$|x_2-x_1|$
同一竖直线	$|y_2-y_1|$
点到原点	$\sqrt{x^2+y^2}$
线段中点	两端点对应坐标取平均

与其他知识的联系

距离公式是勾股定理在坐标系里的直接应用：把两点之间的水平差与竖直差看成两条直角边，斜边就是所求的距离。

它也是「数形结合」的第一个工具——有了它，几何问题可以完全用代数算出来。往后圆的方程、两点间距离的最值、函数图象上点的坐标关系，都建立在这个公式之上。