投影与视图

定义

投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫物体的投影。照射光线叫投影线，投影所在平面叫投影面。

• 平行投影：由平行光线形成的投影（如太阳光、探照灯光）。投影线垂直于投影面时叫正投影。
• 中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影（如路灯、台灯、手电筒）。

三视图：从三个互相垂直的方向对物体作正投影——

• 主视图：从正面（前向后）看；
• 俯视图：从上面（上向下）看；
• 左视图：从左面（左向右）看。

辨析：平行投影与中心投影的本质区别在光线是否平行——太阳光（可视为平行光）下影子不随距离明显变化、方向一致；路灯（点光源）下影子近大远小、方向从光源发散。判断题目属于哪种投影，先看光源：平行光→平行投影，点光源→中心投影。正投影是平行投影中投影线垂直于投影面的特例，三视图正是正投影。

推导（投影规律）

平行投影：投影线互相平行。设物体上线段 $AB$ 与投影面成某角度，其正投影长度 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ 由线段在投影面方向上的分量决定：

• 线段平行于投影面时，正投影长度不变（$A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$）；
• 线段倾斜时，投影缩短；
• 线段垂直于投影面时，投影缩成一点。

平面图形平行于投影面时正投影与原图形全等（形状大小不变），垂直时投影成线段。

中心投影：光线全部经过点光源 $S$。物体上点 $A$ 的投影是射线 $SA$ 与投影面的交点 $A^{\prime }$。由相似三角形（位似图形的模型）：

$\frac{\text{影子大小}}{\text{物体大小}}=\frac{\text{光源到屏幕距离}}{\text{光源到物体距离}}$

物体越靠近光源，影子越大——近大远小。$■$

三视图的尺寸对应：三个视图是同一物体在三个正交面上的正投影，共享同一组长宽高：

• 主视图与俯视图的长相等（长对正）；
• 主视图与左视图的高相等（高平齐）；
• 俯视图与左视图的宽相等（宽相等）。

可见棱画实线，被遮挡不可见的棱画虚线。

典例精析

例 1（三视图识别）直立放置的圆柱（轴竖直），其三视图各是什么？

• 主视图：矩形（圆柱面正投影为矩形，上下底投影为上下边）；
• 左视图：与主视图全等的矩形；
• 俯视图：圆（上底面的正投影）。

若是直立圆锥：主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心点的圆（顶点投影在圆心）。

例 2（由视图还原几何体）某几何体的主视图是矩形、俯视图是圆、左视图是矩形，试判断它是什么几何体，并说明画三视图时如何体现不可见的棱。

三个视图同时满足「矩形—圆—矩形」的常见几何体是直立圆柱。若主视图的矩形内还有一条竖虚线，说明正面被遮挡处有不可见棱，几何体就可能是内部带结构的柱体。

画三视图时：可见棱画实线，被遮挡不可见的棱画虚线。以直立圆锥为例，俯视图中的圆心点（顶点投影）要画出来，不能漏。

口诀：主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等；虚线表示被挡的棱。

对比

几何体	主视图	俯视图	左视图
正方体	正方形	正方形	正方形
直立圆柱	矩形	圆	矩形
直立圆锥	等腰三角形	圆（含圆心）	等腰三角形
球	圆	圆	圆

与其他知识的联系

• 立体图形与展开图：三视图是把三维物体”压扁”到三个正交平面，展开图是把表面”铺平”，二者都是从不同角度认识立体图形，空间观念训练相辅相成。
• 圆柱、圆锥、球：本页对比表中这些几何体的三视图，正是它们的平面投影，为后续学习立体几何的表面积、体积打基础。
• 中心投影与位似/相似：点光源投影中，物体与影子构成一对以光源为位似中心的位似图形（相似三角形），影子大小与距离的比例就是相似比。
• 平行投影与全等：物体平面平行于投影面时，正投影与原图形全等，可看作”平移/平行”视角下的等形变换。