立体几何初步

定义

立体几何：研究三维空间中点、直线、平面之间位置关系及几何体性质的数学分支。

空间两条直线的位置关系：

关系	共面情况	公共点数
相交	共面	1
平行	共面	0
异面	不共面	0

空间直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面相交（一个公共点）、直线与平面平行（无公共点）。

两个平面的位置关系：平行（无公共点）、相交（一条交线）。

推导

线线平行判定：平行于同一条直线的两条直线平行（传递性，$\vec{a}\parallel \vec{b},\vec{b}\parallel \vec{c}\Rightarrow \vec{a}\parallel \vec{c}$）。

线面平行判定定理：若一条直线 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内，且 $l$ 平行于 $\alpha$ 内一条直线 $m$，则 $l\parallel \alpha$。

面面平行判定定理：若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

线面垂直判定定理：若一条直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $m$、$n$，则 $l\perp \alpha$。

面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

几何体的体积与表面积（$S$ 为底面积、$h$ 为高、$r$ 为底面半径、$R$ 为球半径、$l$ 为母线）：

几何体	体积 $V$	侧面积 $S_{\text{侧}}$	全面积 $S_{\text{全}}$
棱柱（圆柱）	$V=Sh$（$V=\pi r^{2}h$）	$S_{\text{侧}}=ch$（$2\pi rh$）	$S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}$
棱锥（圆锥）	$V=\frac{1}{3}Sh$（$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$）	$S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}c{h}^{\prime }$（$\pi rl$）	$S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+S_{\text{底}}$
球	$V=\frac{4}{3}\pi R^3$	—	$S=4\pi R^2$

典例精析

例 1：正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 棱长为 $a$，求体对角线 $A_{1}C$ 的长。

体对角线 $A_{1}C$ 是从顶点 $A_1$ 到对面顶点 $C$ 的连线，其在三个垂直方向上的分量分别为 $a$、$a$、$a$，故 $|A_{1}C|=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a$。

例 2：圆锥底面半径 $r=3$、高 $h=4$，求体积、侧面积。

母线 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5$。

• 体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 9\times 4=12\pi$；
• 侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \times 3\times 5=15\pi$；
• 全面积 $S_{\text{全}}=15\pi +9\pi =24\pi$。

例 3：已知正三棱锥 $S-ABC$ 侧棱长 $SA=2a$、底面边长 $AB=2a$，求棱锥的高 $h$。

设底面正三角形 $ABC$ 中心为 $O$，则 $AO=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$。

在直角三角形 $SAO$ 中，$SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{4}{3}{a}^2}=\sqrt{\frac{8}{3}{a}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$。

故棱锥的高 $h=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$。

对比

位置关系	判定要点	关键定理
线线平行	同垂直于第三线（共面时）	传递性
线面平行	线平行面内一条线	线线⇒线面
面面平行	一面两交线平行另一面	线面⇒面面
线线垂直	异面直线可垂直（不需相交）	线面垂直的性质
线面垂直	线垂面内两相交线	线线⇒线面
面面垂直	一面过另一面的垂线	线面⇒面面