弧长与扇形面积公式

定义

半径为 $r$ 的圆中，$n^{\circ }$ 圆心角所对的弧长：

$l=\frac{n\pi r}{180}$

该圆心角对应的扇形面积：

$S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr$

圆锥（母线 $l$、底面半径 $r$）侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi rl$；全面积：$S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2$。

一张表记住全部公式——它们都来自「按角度占比取整圆的一部分」：

量	公式	由来
弧长	$l=\frac{n\pi r}{180}$	整圆周长 $2\pi r$ 乘 $\frac{n}{360}$
扇形面积	$S=\frac{n\pi r^2}{360}$	整圆面积 $\pi r^2$ 乘 $\frac{n}{360}$
扇形面积（第二式）	$S=\frac{1}{2}lr$	用弧长替换，形如三角形面积

弧长与扇形面积的区别只在：弧长是「一维」，分母 $180$（来自 $2\times 90$）；面积是「二维」，分母 $360$。记住「弧长除以 180，面积除以 360」，就不容易把两个分母写反。

扇形周长不是弧长，而是「弧长 $+$ 两条半径」：$l+2r$。题目问「扇形周长」时常被漏加两条半径。

弓形面积

弓形是「扇形」与「三角形」的差或和：

• 劣弧弓形（弓形小于半圆）：$S_{\text{弓}}=S_{\text{扇形}}-S_{△}$
• 优弧弓形（弓形大于半圆）：$S_{\text{弓}}=S_{\text{扇形}}+S_{△}$

关键是看弓形里的三角形是在扇形之内还是之外，再决定减还是加。

推导

弧长：整圆周长 $2\pi r$ 对应圆心角 $360^{\circ }$，弧长与圆心角成正比例：

$l=2\pi r\times \frac{n}{360}=\frac{n\pi r}{180}■$

扇形面积（比例法）：整圆面积 $\pi r^2$ 对应 $360^{\circ }$，扇形占 $\frac{n}{360}$：

$S=\pi r^2\times \frac{n}{360}=\frac{n\pi r^2}{360}$

面积第二式（代入弧长）：把 $l=\frac{n\pi r}{180}$ 代入：

$\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\cdot \frac{n\pi r}{180}\cdot r=\frac{n\pi r^2}{360}=S■$

（这个形式与三角形面积「底 $\times$ 高的一半」相似，可把扇形看作底为弧、高为半径的曲边三角形。）

圆锥侧面：沿一条母线剪开铺平得扇形——扇形半径即母线 $l$，扇形弧长即底面圆周长 $2\pi r$。由 $\frac{n\pi l}{180}=2\pi r$ 可求展开圆心角；侧面积用 $S=\frac{1}{2}lr$ 的形式：

$S_{\text{侧}}=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r\cdot l=\pi rl■$

典例精析

圆锥母线长 $10$，侧面展开图圆心角为 $144^{\circ }$，求底面半径与侧面积。

展开扇形弧长等于底面圆周长：

$\frac{144\pi \times 10}{180}=2\pi r⟹8\pi =2\pi r⟹r=4$

侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi rl=40\pi$。

例 2（弓形面积）：半径 $6$ 的圆中，一个 $60^{\circ }$ 圆心角对应的劣弧弓形面积是多少？

扇形面积 $S_{\text{扇}}=\frac{60\pi \cdot 36}{360}=6\pi$；对应三角形是边长为 $6$ 的等边三角形，面积 $S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 36=9\sqrt{3}$。故弓形面积为

$S_{\text{弓}}=S_{\text{扇}}-S_{△}=6\pi -9\sqrt{3}$

这里的三角形在扇形内部，所以要减；若是优弧弓形则要加。

对比

图形	周长（边界）	面积
圆	$2\pi r$	$\pi r^2$
扇形	$l+2r$	$\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr$
弓形	弧 + 弦	扇形 ± 三角形
圆锥侧面	扇形弧长 $=2\pi r$	$\pi rl$

与其他知识的联系

弧长与扇形面积是「圆」这一章的收尾计算，它们把前面的圆心角、弧、扇形概念都量化了。整个思想是按角度占比取整圆的一部分，所以只要牢牢抓住「整圆周长 $2\pi r$、整圆面积 $\pi r^2$、总共 $360^{\circ }$」这三件事，公式几乎可以现场推出。

往下游，它直接通向圆锥的侧面展开：把圆锥侧面剪开铺平是扇形，于是母线、底面半径、展开圆心角这三个量被弧长相等的条件串了起来。再往后，高中会把「按角度占比」的思想推广为弧度制——那时弧长公式会简化成 $l=r\theta$，扇形面积变成 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$，本质上还是同一套比例。