圆心角、弧、弦的关系

定义

圆心角：顶点在圆心的角。两条半径就夹出一个圆心角。

等对等定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（以及两条弦的弦心距）中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等。

严格说是四组量对等：圆心角、弧、弦、弦心距。记住四组的办法是联想「圆心角—弧—弦」这条链，再加一条「弦心距」作为弦的配套。

「同圆或等圆」这个前提不能丢。半径不同的两个圆里，$60^{\circ }$ 的圆心角大小相同，但它们所对的弧长短不同，不能说「弧相等」——「弧相等」指能完全重合（半径相同、弧度相同），不是单纯弧长相等。等圆（半径相等）与同圆在这个意义上是一样的。

不等关系：圆心角不等时，大的圆心角所对的弧大、所对的弦大（弦不超过直径），而弦心距反而小。方向正好相反：角大 → 弧大 → 弦大 → 弦心距小。

推导

设同圆中 $\angle AOB=\angle COD$，求证 $\widehat{AB}=\widehat{CD}$ 且 $AB=CD$。

弧相等：将扇形 $OAB$ 绕圆心 $O$ 旋转，使半径 $OA$ 与 $OC$ 重合。由 $\angle AOB=\angle COD$，半径 $OB$ 与 $OD$ 重合；又 $A$、$C$ 同在圆上，$B$、$D$ 同在圆上，旋转后 $A$ 与 $C$ 重合、$B$ 与 $D$ 重合，故弧 $\widehat{AB}$ 与 $\widehat{CD}$ 完全重合。$■$

弦相等：在 $△AOB$ 与 $△COD$ 中：

$\{\begin{array}{l}OA=OC\\ \angle AOB=\angle COD\\ OB=OD\end{array}$

（$OA$、$OC$、$OB$、$OD$ 都是同圆的半径。）

$\therefore △AOB\cong △COD$（SAS），故 $AB=CD$，且弦心距（全等三角形对应边上的高）相等。$■$

逆推：若 $AB=CD$，由 SSS 得 $△AOB\cong △COD$，圆心角相等；旋转重合得弧相等。弧相等时旋转直接得其余两组相等。$■$

整个证明只用了一个动作：旋转。这正是「圆是中心对称图形」的威力——把「相等」翻译成「旋转后重合」。

典例精析

$\odot O$ 中弦 $AB=CD$，$OE\perp AB$ 于 $E$，$OF\perp CD$ 于 $F$，求证 $OE=OF$。

由等对等定理，$AB=CD$ 则对应圆心角相等，$△AOB\cong △COD$。全等三角形对应高相等，故 $OE=OF$。

（推论：同圆中相等的弦到圆心的距离相等。）

例 2：在 $\odot O$ 中，$\angle AOB=2\angle COD$，比较弦 $AB$ 与 $CD$ 的长。

由不等关系，圆心角大的所对弦大，故 $AB>CD$。注意这里不能直接说「$AB$ 是 $CD$ 的两倍」——弦长与圆心角不成正比，弦长 $a=2r\sin \frac{\theta }{2}$（这个公式要到九年级下册学锐角三角函数时才正式学习，这里只需知道弦长不与圆心角成正比），与角的一半的正弦成正比，而不是与角本身成正比。这提醒我们「角大弦大」是定性的比较，不能用来做定量比例。

对比

已知一组（同圆/等圆）	推出
圆心角相等	弧相等、弦相等、弦心距相等
弧相等	圆心角相等、弦相等
弦相等	圆心角相等、弧相等、弦心距相等
圆心角较大	弧较大、弦较大（不超过直径）、弦心距较小

与其他知识的联系

等对等定理是「圆的旋转对称性」的代数化：圆心角相等，绕圆心一旋转，弧与弦就重合。所以它与「圆是中心对称图形」说的是同一件事。

它的四组量（圆心角、弧、弦、弦心距）是圆这一章的「等式枢纽」——证圆中两个量相等，常常是设法证明它们同属这四组之一。往上游，它由旋转对称与三角形全等推出；往下游，它直接支撑圆周角定理（圆周角是圆心角的一半）与垂径定理（弦的对称性）。