锐角三角函数的增减性

推导

固定斜边 $AB=c$ 的直角三角形（可理解为斜边为半径的单位圆模型），$\angle A$ 变化时：

• $\sin A=\frac{\text{对边}}{c}$：$A$ 增大，对边在斜边方向上的投影变长，比值增大；$A$ 从 $0^{\circ }$ 到 $90^{\circ }$，对边从 $0$ 增到 $c$，故 $\sin A$ 从 $0$ 增到 $1$；
• $\cos A=\frac{\text{邻边}}{c}$：$A$ 增大时邻边缩短，从 $c$ 减到 $0$，故 $\cos A$ 从 $1$ 减到 $0$；
• $\tan A=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$：$A$ 增大时分子增长、分母缩短，比值增大，且邻边趋近 $0$ 时比值无限增大。

从特殊角也可验证单调性方向：

$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}<\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}<\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}>\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}>\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

$■$

异名比较工具——互余关系：直角三角形两锐角互余，故

$\sin A=\cos (90^{\circ }-A),\cos A=\sin (90^{\circ }-A)$

比较 $\sin \alpha$ 与 $\cos \beta$ 时，把 $\cos \beta$ 改写成 $\sin (90^{\circ }-\beta )$，统一为正弦后按增减性比较角度即可。

典例精析

例 1（同名比较）不求值，比较大小：

1. $\sin 50^{\circ }$ 与 $\sin 62^{\circ }$：同名正弦，角度大值大，故 $\sin 50^{\circ }<\sin 62^{\circ }$。
2. $\cos 25^{\circ }$ 与 $\cos 20^{\circ }$：同名余弦，角度大值小，故 $\cos 25^{\circ }<\cos 20^{\circ }$。
3. $\sin 40^{\circ }$ 与 $\cos 47^{\circ }$：$\cos 47^{\circ }=\sin 43^{\circ }$，$40^{\circ }<43^{\circ }$，故 $\sin 40^{\circ }<\cos 47^{\circ }$。

例 2（异名与中间量）不求值，比较 $\sin 48^{\circ }$ 与 $\cos 48^{\circ }$，以及 $\tan 38^{\circ }$ 与 $1$ 的大小。

$\cos 48^{\circ }=\sin 42^{\circ }$，而 $48^{\circ }>42^{\circ }$，正弦随角增大，故 $\sin 48^{\circ }>\cos 48^{\circ }$。

又 $\tan 45^{\circ }=1$，$38^{\circ }<45^{\circ }$，正切随角增大，故 $\tan 38^{\circ }<\tan 45^{\circ }=1$。

方法小结：同名比角度、异名化同名、跟 1 比取 $\tan 45^{\circ }$ 或 $\sin /\cos$ 的界值，是最常用的三条比较路径。

对比

与其他知识的联系

• 锐角三角函数：本页的增减性建立在锐角三角函数定义（直角三角形边长比）之上，sin、cos、tan 的取值随角的变化规律是定义的直接推论。
• 特殊角的三角函数值：$30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ 的函数值严格体现增减性（$\sin 30^{\circ }<\sin 45^{\circ }<\sin 60^{\circ }$），特殊值是验证与记忆增减方向的”锚点”。
• 解直角三角形：判断角的范围、比较边的大小，常借助增减性反推角的大小关系，是解直角三角形中由值定角的依据。
• 一次函数与反比例函数的增减性：函数增减性是贯穿初中函数的主线，三角函数的单调性与一次函数（$k>0$ 增、$k<0$ 减）同思路，但要在”锐角范围”这一限定区间内讨论。