解直角三角形

定义

由直角三角形中除直角外的已知元素（边或锐角），求出其余未知元素的过程叫解直角三角形。

在 Rt$△ABC$ 中（$\angle C=90^{\circ }$，$\angle A$ 的对边为 $a$、$\angle B$ 的对边为 $b$、斜边为 $c$）：

• 角角关系：$\angle A+\angle B=90^{\circ }$（两锐角互余）；
• 边边关系：$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）；
• 边角关系：

$\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\tan A=\frac{a}{b}$

五个元素（三条边、两个锐角）中，只要已知两个（且至少含一条边），就能求出其余三个。

为什么至少要一条边：只给两个锐角（如 $\angle A=30^{\circ }$、$\angle B=60^{\circ }$）只能确定三角形的形状，不能确定大小——把图形放大缩小，角度不变而边长全变，有无数个解。所以「至少含一条边」是解存在且唯一的关键。

解题的一般步骤

1. 标图：把已知的边、角标在图上，分清「已知」与「所求」
2. 选关系：看已知与所求之间需要哪条关系（角角用互余、边边用勾股、边角用三角函数），优先用三角函数一步到位
3. 列式求值：代入并计算，特殊角直接查三角函数值表
4. 检验：结果是否合理——直角边应小于斜边，角应在 $0^{\circ }$ 与 $90^{\circ }$ 之间

选三角函数的口诀：已知斜边用 sin 或 cos，未知斜边用 tan，对边邻边都已知时用 tan 最直接。

推导（常见类型）

已知斜边和一锐角（$c$，$\angle A$）：

$\angle B=90^{\circ }-\angle A,a=c\sin A,b=c\cos A$

已知一直角边和一锐角（$a$，$\angle A$）：

$\angle B=90^{\circ }-\angle A,c=\frac{a}{\sin A},b=\frac{a}{\tan A}$

已知两边：先用勾股定理求第三边，再用三角函数求锐角。例如已知 $a$、$b$：

$c=\sqrt{a^2+b^2},\tan A=\frac{a}{b}$

由 $\tan A$ 的值（若为特殊角则直接读出 $\angle A$，一般值查表），再 $\angle B=90^{\circ }-\angle A$。

应用中的三个角

仰角与俯角：都是视线与水平线的夹角。视线在水平线上方时叫仰角，在下方时叫俯角。它们不是视线与铅垂线的夹角——这是画图时最容易看错的地方。测高问题中，塔高 $h$、水平距离 $d$、仰角 $\alpha$ 满足

$h=d\tan \alpha$

坡角与坡度：坡角 $\alpha$ 是坡面与水平面的夹角；坡度 $i$ 是铅直高度与水平宽度之比：

$i=\tan \alpha =\frac{h}{l}$

其中 $h$ 为铅直高度，$l$ 为水平宽度。

注意坡度是高度比水平宽度，不是高度比斜坡长度（后者叫「斜坡比」，是 $\sin \alpha$）。坡度 $i=1:2$ 表示每前进 $2$ 米水平距离、升高 $1$ 米。

方向角：以正南或正北方向为基准，如「北偏东 $30^{\circ }$」表示从正北方向向东偏 $30^{\circ }$。要分清「北偏东」与「东偏北」——前者以正北为基准，后者以正东为基准。

典例精析

在山脚 $A$ 处测得山顶 $B$ 的仰角为 $30^{\circ }$，沿水平方向前进 $200$ 米到 $C$，在 $C$ 处测得仰角为 $45^{\circ }$，求山高。

设山高 $BD=h$，$D$ 为山顶在水平面的垂足。由 $\angle BCD=45^{\circ }$，Rt$△BCD$ 中 $CD=h$；故 $AD=200+h$。

在 Rt$△BAD$ 中：

$\tan 30^{\circ }=\frac{h}{200+h}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}h=200+h⟹h=\frac{200}{\sqrt{3}-1}=100(\sqrt{3}+1)\approx 273.2$

即山高约为 $273.2$ 米。这题用「两个直角三角形拼在同一幅图里」是测高的标准模式：一个角已知、一个量已知，靠公共边把两个三角形串起来。

例 2（坡度）：一段斜坡的坡度 $i=1:2$，若沿水平方向前进 $6$ 米，问升高了多少米？

坡度 $i=\frac{h}{6}=\frac{1}{2}$，故 $h=3$ 米。若问「沿斜坡走了多远」，则是斜边长 $\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}$ 米——同一幅图，问水平距离、升高、斜坡长三者中的哪个，公式各不相同。

对比

已知条件	求解顺序
斜边 + 锐角	先求另一锐角，再 sin/cos 求两边
直角边 + 锐角	先求另一锐角，再 tan/sin 求其余
两边	勾股求第三边，三角函数求角
仅两个锐角	不能求解（大小不确定）

与其他知识的联系

解直角三角形把前面三块工具（两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数）合在一起用，是「边角互化」的第一课：由边求角、由角求边，靠的都是三角函数。

它在现实中的测高、测距、坡度、方向角等问题里大量出现，是三角函数最直接的应用场景。往后，高中会把「解直角三角形」推广为「解任意三角形」——靠的是正弦定理与余弦定理，而这两条定理的根子，正是这里的直角三角形边角关系。