圆与圆的位置关系

定义

设两圆半径为 $R$、$r$（$R\ge r$），圆心距为 $d$，两圆位置关系有五种：

位置	数量关系	公共点
外离	$d>R+r$	0
外切	$d=R+r$	1（外切点）
相交	$R-r<d<R+r$	2
内切	$d=R-r$	1（内切点）
内含	$0\le d<R-r$	0

$d=0$ 且 $R\ne r$ 时两圆同心，是内含的特例。

一条数轴记全五种位置：把圆心距 $d$ 看成数轴上的点，两个分界点是 $R+r$（半径和）与 $R-r$（半径差）：

$0⟶\underset{\text{内切}}{\underbrace{R-r}}⟶\underset{\text{外切}}{\underbrace{R+r}}⟶+\infty$

于是从左到右依次是：内含（含 $d=0$ 同心）→ 内切 → 相交 → 外切 → 外离。记「相切看和差，相交夹中间，外离比和大，内含比差小」。

要注意「外切用半径和、内切用半径差」——都叫相切、都是 $1$ 个公共点，但列式完全不同。

推导

两圆的位置由连心线 $O_1{O}_2=d$ 与两圆在连心线上截得的线段决定。

相切时切点在连心线上：两圆相切于点 $T$，过 $T$ 作两圆的公切线，由切线性质 $O_{1}T$、$O_{2}T$ 都垂直于同一条公切线。过同一点 $T$ 垂直于同一直线的直线只有一条，故 $O_1、T、O_2$ 三点共线。因此：

• 外切时两圆心在切点两侧：$d=O_{1}T+T{O}_2=R+r$；
• 内切时两圆心在切点同侧（小圆在大圆内）：$d=O_{1}T-O_{2}T=R-r$。$■$

相交的界：两圆有两个公共点时，取一个交点 $A$，$△O_{1}A{O}_2$ 三边为 $R、r、d$。由三角形三边关系（非退化、非共线）：

$R-r<d<R+r$

• $d=R+r$ 或 $d=R-r$ 时三角形退化，两交点合为一切点；
• $d>R+r$ 两圆够不着（外离）；$d<R-r$ 小圆整体没入大圆（内含）。$■$

相交两圆的连心线垂直平分公共弦：设公共弦为 $AB$，两圆心到 $A$、$B$ 分别等距，故 $O_1$、$O_2$ 都在 $AB$ 的垂直平分线上；两点确定一条直线，连心线就是公共弦的垂直平分线。$■$

这条结论是「相交两圆」类计算题的关键：连公共弦，就能在两个圆里分别用「半径、半弦、弦心距」的直角三角形，把两个圆串起来。

典例精析

两圆半径分别为 $7$ 和 $3$，当圆心距 $d$ 取何值时两圆相切？

• 外切：$d=R+r=7+3=10$；
• 内切：$d=R-r=7-3=4$。

当 $4<d<10$ 时两圆相交；$d>10$ 外离；$0\le d<4$ 内含。

例 2（相交与公共弦）：两圆半径分别为 $5$ 与 $3$，圆心距为 $4$，求公共弦长。

先判定：$R-r=2<d=4<R+r=8$，两圆相交。设公共弦为 $AB$，连心线垂直平分 $AB$ 于 $M$。设 $AM=x$，$O_{1}M=y$，则 $O_{2}M=4-y$。在两个直角三角形中：

$5^2=x^2+y^2,3^2=x^2+(4-y{)}^2$

两式相减消去 $x^2$：$25-9=y^2-(4-y{)}^2$，展开 $16=y^2-(16-8y+y^2)=8y-16$，得 $y=4$，代回 $x^2=25-16=9$，$x=3$。故公共弦长 $AB=2x=6$。

这题把「判定位置」与「垂径定理算弦长」连成一条完整的求解链。

对比

位置	d 与 R±r	公切线条数
外离	$d>R+r$	4
外切	$d=R+r$	3
相交	$R-r<d<R+r$	2
内切	$d=R-r$	1
内含	$d<R-r$	0

与其他知识的联系

圆与圆的位置关系是三种位置关系（点、直线、圆）的最后一种，也是判定思路的收尾：始终是「某个距离」与「半径的和/差」比较。三种关系层层递进——点到圆比距离与半径，直线到圆也比距离与半径，圆到圆则比圆心距与半径的和差。

相切时的「切点在连心线上」与相交时的「连心线垂直平分公共弦」是两条几何结论，它们把两圆问题转回熟悉的单圆问题（切线、垂径定理）。往后，这套「圆心距 vs 半径和差」的判定在高中会被代数化，成为「两圆相离、相切、相交」对应「方程解个数」的解析几何版本。