垂径定理

定义

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

设 $CD$ 是 $\odot O$ 的直径，$AB$ 是非直径的弦，$CD\perp AB$ 于 $E$，则

$AE=BE,\widehat{AC}=\widehat{BC},\widehat{AD}=\widehat{BD}$

推论（知二求三）：设圆半径为 $r$，弦长为 $a$，圆心到弦的距离（弦心距）为 $d$，则

$d^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=r^2$

为什么被平分的弦不能是直径：若 $AB$ 也是直径，两条直径当然互相平分，但一般不互相垂直。所以逆着用定理说「平分弦的直径垂直于弦」时，必须注明这条弦不是直径——这是定理里唯一需要留意的前提。

四个量之间的关系

实际问题中还常出现弓形高 $h$（弧的最高点到弦的距离）。它与弦心距的关系是：

• 弓形小于半圆时，$h=r-d$
• 弓形大于半圆时，$h=r+d$

于是 $r$、$a$、$d$、$h$ 这四个量里知道任意两个，就能求其余：

已知	求	公式
$r$、$a$	$d$	$d=\sqrt{r^2-(a/2{)}^2}$
$r$、$d$	$a$	$a=2\sqrt{r^2-d^2}$
$d$、$a$	$r$	$r=\sqrt{d^2+(a/2{)}^2}$
$a$、$h$	$r$	$r=\frac{h^2+(a/2{)}^2}{2h}$

最后一条正是「赵州桥」那类题的通用公式：已知跨度 $a$ 与拱高 $h$，直接求半径。

要反复提醒的是：代入公式的必须是半弦 $\frac{a}{2}$，把弦长当半弦代进去，是这一节最常见的错误。

推导

连 $OA$、$OB$，则 $OA=OB$，$△OAB$ 是等腰三角形。

$OE\perp AB$，即 $OE$ 是等腰 $△OAB$ 底边上的高。由三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高三线合一）：

$AE=BE$

再由圆的轴对称性：直线 $CD$ 过圆心 $O$，是 $\odot O$ 的对称轴；$A$ 关于 $CD$ 的对称点是 $B$，弧 $\widehat{AC}$ 的对称点是弧 $\widehat{BC}$，故

$\widehat{AC}=\widehat{BC},\widehat{AD}=\widehat{BD}■$

推论：$E$ 为 $AB$ 中点，半弦 $AE=\frac{a}{2}$；在 Rt$△OAE$ 中由勾股定理：

$O{E}^2+A{E}^2=O{A}^2⟹d^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=r^2$

典例精析

赵州桥拱是圆弧，跨度（弦长）$37.4$ 米，拱高（弓形高）$7.2$ 米，求半径。

设半径 $r$，圆心 $O$，弦 $AB=37.4$，拱高 $h=7.2$。弦心距 $d=r-7.2$。

由推论（半弦 $=18.7$）：

$(r-7.2{)}^2+18.7^2=r^2$

展开：$r^2-14.4r+51.84+349.69=r^2$，解得

$14.4r=401.53⟹r\approx 27.9$

即拱所在的圆半径约为 $27.9$ 米。这类题用上面表格的最后一条公式也能一次算出，两法应当一致。

再练一道逆用的：圆中弦 $AB=8$，圆心到它的距离为 $3$，求圆的半径；若另一条弦 $CD$ 长为 $6$，求圆心到 $CD$ 的距离。

由 $AB$：半弦为 $4$，故 $r=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

由 $CD$：半弦为 $3$，故弦心距为 $\sqrt{5^2-3^2}=4$。

两问用的是同一条式子，只是已知量不同。

对比

条件组	结论	备注
直径 ⊥ 弦	平分弦 + 平分两弧	弦非直径
平分弦（非直径）的直径	⊥ 弦 + 平分弧	逆用
弦的垂直平分线	过圆心 + 平分弧	逆用
知 $r$、$a$	$d=\sqrt{r^2-(a/2{)}^2}$	勾股计算
知 $r$、$d$	$a=2\sqrt{r^2-d^2}$	勾股计算

与其他知识的联系

垂径定理的依据是圆的轴对称性：任何一条直径所在的直线都是对称轴，而对称轴垂直平分对称点的连线。所以它与「圆是轴对称图形」说的是同一件事。

它的直接产物是「半径、半弦、弦心距」这个直角三角形——圆里几乎所有计算题都从这里起步。往后，圆心角、弧、弦、弦心距四组量的等价关系会以它为基础建立起来；而证明切线、求阴影面积等问题，第一步往往也是作一条弦心距。