对顶角相等

定义

两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点、没有公共边的两个角互为对顶角。等价说法：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。

邻补角：四个角中有一条公共边、另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角，和为 $180°$。

定理：对顶角相等。

推导

已知：直线 $AB$、$CD$ 相交于点 $O$，$\angle 1$ 与 $\angle 3$ 是一对对顶角。

求证：$\angle 1=\angle 3$。

证明：$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 互为邻补角，

$\angle 1+\angle 2=180°$

$\angle 3$ 与 $\angle 2$ 也互为邻补角，

$\angle 3+\angle 2=180°$

于是

$\angle 1=180°-\angle 2,\angle 3=180°-\angle 2$

由「同角的补角相等」（余角和补角的性质），$\angle 1=\angle 3$。$■$

同理可证另一组对顶角 $\angle 2=\angle 4$。

这样证明的依据只有一条：同角的补角相等。 $\angle 1$ 与 $\angle 3$ 都是 $\angle 2$ 的补角，所以它们相等。整个推理没有用到任何平行条件，也没有用到角的度数——对顶角相等对任意两条相交直线都成立，与交角大小无关。

推论（知一求三）：两直线相交所成四个角中，只要知道其中一个角的度数，其余三个角全部确定——对顶角相等抄数值，邻补角用 $180^{\circ }$ 减。

知一求三怎么用

两条直线相交得到四个角，它们只有两种度数：设为 $\alpha$ 与 $180^{\circ }-\alpha$，各出现两次（对顶角）。所以：

• 已知一个角 $\alpha$ → 它的对顶角也是 $\alpha$，两个邻补角各是 $180^{\circ }-\alpha$
• 已知两个角的比（而不是具体度数）→ 先判它们是邻补角还是对顶角。邻补角用「和为 $180^{\circ }$」配比例分配；对顶角则比值只能是 $1:1$
• 若出现角平分线 → 平分的是哪一个角要先认清楚，再用「一半」关系

记数也有一套：三条直线交于同一点，每两条产生 $2$ 组对顶角，两两组合共 $3$ 对直线，所以共 $6$ 组对顶角。数的时候按「选两条直线」来数，不容易重复。

典例精析

直线 $AB$、$CD$ 交于 $O$，射线 $OE$ 平分 $\angle AOC$，已知 $\angle AOD=110^{\circ }$，求 $\angle AOE$。

$\angle AOC$ 与 $\angle AOD$ 互为邻补角，故 $\angle AOC=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$。$OE$ 平分该角，故

$\angle AOE=\frac{1}{2}\angle AOC=35^{\circ }$

再练一道比例题：两直线交于 $O$，$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是一对邻补角，且 $\angle 1:\angle 2=2:7$，求 $\angle 1$ 的对顶角。

邻补角之和为 $180^{\circ }$，按 $2:7$ 分配共 $9$ 份，每份 $20^{\circ }$，故 $\angle 1=40^{\circ }$。所求角是 $\angle 1$ 的对顶角，等于 $40^{\circ }$。

与其他知识的联系

对顶角相等是七年级最早接触的一条「角相等」结论，它在此后常被当作推理链的第一环：证明平行线的性质时，常先用对顶角把角搬到便于比较的位置；三角形内角和与外角的推理里，也常出现两条直线相交的结构。

同时要记得它的方向性：对顶角一定相等，但相等的两个角不一定是对顶角——这个命题反过来不成立，不能用它去判定对顶角。

对比

关系	公共顶点	公共边	数量关系
邻补角	有	一条	和为 180°
对顶角	有	无	相等
互余角	不一定有	不一定有	和为 90°