射影定理

定义

在 Rt$△ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$CD\perp AB$ 于 $D$（$D$ 为垂足），则：

$A{C}^2=AD\cdot AB$

$B{C}^2=BD\cdot BA$

$C{D}^2=AD\cdot BD$

其中 $AD$、$BD$ 分别是直角边 $AC$、$BC$ 在斜边 $AB$ 上的射影。

推导

由母子相似（见直角三角形相似的判定）：

$△ACD\backsim △ABC\backsim △CBD$

第一式：由 $△ACD\backsim △ABC$，对应边成比例（注意斜边对斜边）：

$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}⟹A{C}^2=AD\cdot AB■$

第二式：由 $△CBD\backsim △ABC$：

$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}⟹B{C}^2=BD\cdot BA■$

第三式：由 $△ACD\backsim △CBD$（也都与原三角形相似，故彼此相似）：

$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}⟹C{D}^2=AD\cdot BD■$

与勾股定理的一致性：

$A{C}^2+B{C}^2=AD\cdot AB+BD\cdot AB=(AD+BD)\cdot AB=AB\cdot AB=A{B}^2$

即射影定理包含勾股定理，从相似角度重新得到了它。

典例精析

例 1（已知两射影求全部）Rt$△ABC$ 中 $\angle C=90^{\circ }$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AD=2$、$BD=8$，求 $CD$、$AC$、$BC$。

$CD=\sqrt{AD\cdot BD}=\sqrt{16}=4$

斜边 $AB=10$：

$AC=\sqrt{AD\cdot AB}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},BC=\sqrt{BD\cdot AB}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

验证：$A{C}^2+B{C}^2=20+80=100=A{B}^2$。

例 2（已知边与射影求另一边）Rt$△ABC$ 中 $\angle C=90^{\circ }$，$CD\perp AB$ 于 $D$，$AC=6$、$AD=3.6$，求 $AB$ 与 $BC$。

由 $A{C}^2=AD\cdot AB$：

$36=3.6\cdot AB⟹AB=\frac{36}{3.6}=10$

再由 $B{C}^2=BD\cdot BA$（其中 $BD=AB-AD=6.4$）：

$BC=\sqrt{6.4\times 10}=\sqrt{64}=8$

（也可用勾股定理 $BC=\sqrt{10^2-6^2}=8$，两者一致。）

对比

公式	内容	来源相似对
直角边平方	$A{C}^2=AD\cdot AB$	$△ACD\backsim △ABC$
另一直角边	$B{C}^2=BD\cdot BA$	$△CBD\backsim △ABC$
高的平方	$C{D}^2=AD\cdot BD$	$△ACD\backsim △CBD$

与其他知识的联系

• 直角三角形相似的判定：射影定理的证明完全建立在「母子相似」（斜边上的高分出两个小三角形都与原三角形相似）之上，是直角三角形相似判定的直接产物。
• 勾股定理：把射影定理前两式相加，恰好得到 $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$，即射影定理从相似角度重新推出了勾股定理，二者本质相通。
• 比例中项：$A{C}^2=AD\cdot AB$、$C{D}^2=AD\cdot BD$ 都是「比例中项」结构（$b^2=ac$），与黄金分割中的 $A{C}^2=AB\cdot CB$ 同型。
• 解直角三角形：已知斜边上一段射影求边、高时，射影定理比先用勾股定理更直接，是解直角三角形中处理”斜边上的高”问题的快捷工具。