权方和不等式

推导

它是柯西不等式的直接变形。由柯西：

$\left(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\right)(m+n)=\left[{\left(\frac{x}{\sqrt{m}}\right)}^2+{\left(\frac{y}{\sqrt{n}}\right)}^2\right]\left[(\sqrt{m}{)}^2+(\sqrt{n}{)}^2\right]\ge (x+y{)}^2$

两边除以正数 $m+n$：

$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge \frac{(x+y{)}^2}{m+n}$

等号当两组成比例 $\frac{x/\sqrt{m}}{\sqrt{m}}=\frac{y/\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$，即 $\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$。$■$

典例精析

例 1：已知正数 $x,y$ 满足 $x^2+3xy+4y^2=7$，求 $x+2y$ 的最大值。

配方 $7={\left(x+\frac{3y}{2}\right)}^2+\frac{7y^2}{4}$，改写成分子二次、分母一次的形式：

$7=\frac{{\left(x+\frac{3y}{2}\right)}^2}{1}+\frac{{\left(\frac{y}{2}\right)}^2}{\frac{1}{7}}\ge \frac{{\left(x+\frac{3y}{2}+\frac{y}{2}\right)}^2}{1+\frac{1}{7}}=\frac{(x+2y{)}^2}{\frac{8}{7}}$

故 $(x+2y{)}^2\le 8$，$x+2y\le 2\sqrt{2}$。等号当 $\frac{x+\frac{3y}{2}}{1}=\frac{\frac{y}{2}}{\frac{1}{7}}$，即 $x=2y$。

例 2：已知正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值。

把分子补成平方：

$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1^2}{a}+\frac{2^2}{b}\ge \frac{(1+2{)}^2}{a+b}=9$

等号当 $\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$，即 $b=2a$，结合 $a+b=1$ 得 $a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{2}{3}$，最小值为 $9$。

对比