垂线段最短

定义

垂线段：从直线外一点向直线作垂线，该点与垂足之间的线段。

基本事实（垂线段最短）：直线外一点与这条直线上各点所连接的所有线段中，垂线段最短。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

推导

设点 $P$ 在直线 $l$ 外，$PO\perp l$ 于 $O$，$A$ 是 $l$ 上异于 $O$ 的任意一点，求证 $PO<PA$。

在 $△POA$ 中，$\angle POA=90°$，即 $△POA$ 是直角三角形，且 $PA$ 是斜边（直角所对的边），$PO$ 是一条直角边。

由直角三角形的边角关系（或勾股定理）：

$P{A}^2=P{O}^2+O{A}^2$

因 $A$ 异于 $O$，$O{A}^2>0$，故

$P{A}^2>P{O}^2⟹PA>PO$

由 $A$ 的任意性，垂线段 $PO$ 比点 $P$ 到直线 $l$ 上其他任何点的线段都短。$■$

勾股定理要到八年级下册才学，七年级课本把「垂线段最短」直接作为基本事实承认；这里的推导是用后续知识补一个道理，家长讲到时不必让孩子提前学勾股定理。

应用——切线性质的证明：若直线与圆相切于 $A$ 而半径 $OA$ 不垂直于切线，过圆心作切线的垂线段 $OP$，由「垂线段最短」得 $OP<OA=r$，圆心到直线距离小于半径则直线与圆相交（两个公共点），与「相切只有一个公共点」矛盾。故切线必垂直于过切点的半径。

平行线间距离：$a\parallel b$，在 $a$ 上任取两点作 $b$ 的垂线段，由平行线间平行线段相等（两垂线段与两平行线围成矩形；矩形是八年级内容，此处借助直观理解即可），长度处处相等，这个定值叫两平行线间的距离。

两个「最短」的分工

课本里有两条含「最短」的基本事实，用错是这一章最常见的失分点：

基本事实	比较的对象	结论	距离定义
两点之间线段最短	连接同两点的线段、折线、曲线	线段最短	两点间距离
垂线段最短	直线外一点到直线上各点的线段	垂线段最短	点到直线的距离

区分的办法看端点：两端都固定的用前者，一端固定、另一端在一条直线上滑动的用后者。

三种距离

初中遇到的距离都用「最短（或唯一确定的）线段长度」来定义，三者结构一致：

• 两点间距离：连接两点的线段的长度
• 点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度
• 两平行线间的距离：一条直线上任一点到另一条的垂线段长度，处处相等

它们的共同点是：距离是一个数（带上单位），不是线段这个图形。写「点到直线的距离是垂线段」不准确，应该说「是垂线段的长度」。

典例精析

把河水引到水池 $P$，要在河边直线 $l$ 上选一点 $O$ 修渠道使渠道最短，怎么选？

过 $P$ 作 $PO\perp l$，垂足 $O$ 即为所求。由垂线段最短，$PO$ 是 $P$ 到河边的最短距离，渠道修成垂线段最省料。

再举一个：跳远成绩怎么量？

起跳时脚尖不能超过起跳线，落地点是沙坑中的一个点，成绩取落地点到起跳线的垂线段长度。量的时候皮尺要与起跳线垂直——若斜着量，量到的比垂线段长，成绩就虚高了。这正是垂线段最短的直接应用。

与其他知识的联系

点到直线的距离是后面几块内容的共同工具：

• 三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线段，其长度就是高；面积公式里的「高」用的正是这个距离
• 直线与圆的位置关系：比较圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$，$d>r$ 相离、$d=r$ 相切、$d<r$ 相交
• 切线的性质：切线垂直于过切点的半径，其证明用的就是本页这条基本事实（反证：若不垂直，圆心到直线的距离小于半径，直线将与圆相交于两点）

把「距离 = 垂线段长度」这一件事想透，这三处就都是同一个模型的不同包装。

对比

基本事实	内容	距离概念
两点之间	线段最短	两点间距离 = 线段长度
点到直线	垂线段最短	点到直线距离 = 垂线段长度
平行线间	垂线段处处相等	平行线间距离 = 垂线段长度