角平分线的性质

定义

性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

这里的「距离」特指垂线段的长度，不是到边上任意一点的连线长度。用性质之前必须先作出垂足，否则条件不成立——这是本页最容易出错的地方：在角的两边上任取两点，连到角平分线上的点，那两条线段一般并不相等。

两条定理互为逆定理，说明角平分线就是「到两边距离相等的所有点」（轨迹视角）。看到「到两边距离相等」就该想到角平分线，反之亦然。

推导

性质：$OC$ 平分 $\angle AOB$，$P$ 在 $OC$ 上，$PM\perp OA$ 于 $M$，$PN\perp OB$ 于 $N$，求证 $PM=PN$。

在 $△POM$ 与 $△PON$ 中：

$\{\begin{array}{l}\angle POM=\angle PON\\ \angle PMO=\angle PNO=90^{\circ }\\ OP=OP\end{array}$

其中第一个条件来自「平分」，第二个来自「垂直」，$OP$ 是公共边。故 $△POM\cong △PON$（AAS），于是 $PM=PN$。$■$

判定：$PM\perp OA$ 于 $M$，$PN\perp OB$ 于 $N$，且 $PM=PN$，求证 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上。

连 $OP$。由 HL 判定，Rt$△POM\cong$ Rt$△PON$（$PM=PN$，$OP$ 公共），故 $\angle POM=\angle PON$，即 $OP$ 平分 $\angle AOB$。$■$

尺规作角平分线

以 $O$ 为圆心、任意长为半径画弧，交角的两边于 $M$、$N$；再分别以 $M$、$N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}MN$ 的同一长度为半径画弧，两弧交于 $P$；连接 $OP$ 即为角平分线。

依据是 SSS：由 $OM=ON$、$MP=NP$、$OP$ 公共，得 $△OMP\cong △ONP$，于是对应角 $\angle MOP=\angle NOP$。

三角形的内心

三角形三条角平分线交于一点，称为内心，它到三条边的距离相等；以它为圆心可作三角形的内切圆，这个相等的距离就是内切圆半径 $r$。内心总在三角形内部（这一点与外心不同）。

由内心还能得到一条实用公式：把三角形按内心分成三个小三角形，它们的高都是 $r$，底分别是三边，故

$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$

其中 $a$、$b$、$c$ 为三边长。已知面积与周长求内切圆半径（或反之）时就用它。

典例精析

$△ABC$ 中，$\angle B$ 与 $\angle C$ 的平分线交于 $I$，$I$ 到 $BC$ 的距离为 $3$，求 $I$ 到 $AB$、$AC$ 的距离。

连 $AI$ 并作三边的垂线。由性质定理，$I$ 到 $AB$、$BC$、$AC$ 的距离都相等，故均为 $3$。

这个交点 $I$ 就是内心，是内切圆圆心，内切圆半径即 $3$。注意「$I$ 也在 $\angle A$ 的平分线上」不是额外条件，而是由「三条角平分线共点」保证的——因此作两条角平分线就足以确定内心。

再练一道实际应用的：要在两条相交公路之间建一座消防站，使它到两条公路的距离相等，站点应选在哪里？

答：在两条公路所成角的角平分线上（两条角平分线各对应一侧，按需要选）。若要到三个地点距离相等，则要用垂直平分线。可见「到线等距」用角平分线，「到点等距」用垂直平分线，二者不能混用。

对比

	角平分线	线段垂直平分线
性质	线上点到两边等距	线上点到两端等距
判定	等距点在线上	等距点在线上
全等依据	AAS / HL	SAS / HL
三线交点	内心（内切圆心）	外心（外接圆心）
交点位置	恒在三角形内部	随形状可在内、上、外

与其他知识的联系

角平分线与线段垂直平分线恰好是一对：一个管「到两边（线）等距」，一个管「到两端（点）等距」，结构完全对称，三线交点分别给出内切圆与外接圆的圆心。

再往后，角平分线在相似三角形里会以「角平分线定理」的形式出现——它把对边分成与两条邻边成比例的两段；在圆这一章，同弧所对的圆周角相等，也是沿着「角相等」这条线往前走。