角平分线定理

定义

角平分线定理（三角形内角平分线比例定理）：在 $△ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交对边 $BC$ 于 $D$，则

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

即角平分线分对边所得两段，与夹这个角的两边对应成比例。

推导

作平行线构造等腰三角形：过 $C$ 作 $CE\parallel AD$，交 $BA$ 的延长线于 $E$。

由 $CE\parallel AD$：

• $\angle BAD=\angle AEC$（两直线平行，同位角相等）；
• $\angle DAC=\angle ACE$（两直线平行，内错角相等）。

由角平分线定义 $\angle BAD=\angle DAC$，故

$\angle AEC=\angle ACE$

由「等角对等边」（等腰三角形判定）：

$AE=AC$

在 $△BCE$ 中，$D$ 在 $BC$ 上、$A$ 在 $BE$ 上，且 $AD\parallel CE$，由平行线分线段成比例定理（A 字型）：

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AE}$

代入 $AE=AC$：

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}■$

与三线合一的呼应：若 $AB=AC$（等腰三角形），则 $\frac{BD}{DC}=1$，即 $BD=DC$，角平分线同时是底边中线，这正是等腰三角形三线合一。

典例精析

例 1（已知三边求分段）$△ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$，$AB=10$、$AC=6$、$BC=12$，求 $BD$、$DC$。

由定理：

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

按比例分配 $BC=12$：总份数 $5+3=8$，每份 $\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，故

$BD=5\times \frac{3}{2}=\frac{15}{2},DC=3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

例 2（已知一边与一段求邻边）$△ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$BD=4$、$DC=3$、$AB=8$，求 $AC$。

由 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$：

$\frac{4}{3}=\frac{8}{AC}⟹AC=\frac{8\times 3}{4}=6$

对应关系别写反：$BD$ 是靠近 $AB$ 的一段，所以 $BD$ 对应 $AB$、$DC$ 对应 $AC$，即 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$。写成 $\frac{BD}{DC}=\frac{AC}{AB}$ 是头号错误。

对比

涉及角平分线的定理	内容
性质定理	线上的点到角两边距离相等
判定定理	到两边等距的点在角平分线上
三角形内角平分线定理	分对边之比等于邻边之比
三线合一（等腰）	顶角平分线 = 底边中线 = 底边高

与其他知识的联系

• 角平分线的性质：本定理与「角平分线上的点到两边距离相等」是两条不同的结论——前者谈角平分线与对边交点的分段比例，后者谈点到边的垂线段，二者常在同一题中配合使用。
• 平行线分线段成比例：证明本定理的核心是过 $C$ 作 $CE\parallel AD$，把问题化为 A 字型成比例，再借「等角对等边」转换出 $AE=AC$。
• 等腰三角形的三线合一：当 $AB=AC$ 时，本定理给出 $BD=DC$，角平分线同时是中线与高，这正是等腰三角形三线合一的代数表达。
• 相似三角形：本定理是比例线段在三角形内部的应用，与相似三角形、比例的基本性质同属”成比例线段”这一知识块。